Ускорение

У этого термина существуют и другие значения, см. Ускорение (значения).

Ускорение
$\vec a = {d\vec v \over dt}$
Размерность	LT−2
Единицы измерения
СИ	м/с²
СГС	см/с²

Падающий мяч при отсутствии сопротивления воздуха ускоряется, то есть движется все быстрее и быстрее.

Ускоре́ние (обычно обозначается $\vec a$, в теоретической механике $\vec w$) — производная скорости по времени, векторная величина, показывающая, на сколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её (его) движении за единицу времени (то есть ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Например, вблизи Земли падающее на Землю тело, в случае, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха, увеличивает свою скорость примерно на 9,8 м/с каждую секунду, то есть, его ускорение равно 9,8 м/с².

Единицей ускорения в Международной системе единиц (СИ) служит метр в секунду за секунду (m/s², м/с²), существует также внесистемная единица Гал (Gal), применяемая в гравиметрии и равная 1 см/с².

Производная ускорения по времени, то есть величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок:

$\vec j=\frac {\mathrm{d} \vec a} {\mathrm{d}t}$, где: $\vec j$ — вектор рывка.

Кинематика точки

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём дифференцирования вектора скорости материальной точки по времени:

$\vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}$.

Ускорение точки при прямолинейном движении

Если вектор $\vec a$ не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении справедливы формулы:

$\vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a$

$\vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\over 2}\vec a$.

Из вышеприведённых двух формул можно вывести ещё одну, связывающую скалярные величины:

$|v|^2= |u|^2 + 2 \, a \cdot s$

Здесь $u$ — начальная скорость тела, $v$ — конечная скорость тела; $a$ — ускорение тела; $s$ — пройденный телом путь.

Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю в течение всего времени движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), поэтому такое движение называют прямолинейным и равномерным.

Равноускоренное движение точки всегда является плоским, а твёрдого тела — плоскопараллельным (поступательным). (Обратное, вообще говоря, не верно).

Ускорение точки при движении по окружности

Вектор ускорения

$\mathbf a = \frac{d \mathbf v}{dt}$

при движении точки по окружности можно разложить на два слагаемых (компоненты):

$\mathbf a = \mathbf a_\tau + \mathbf a_n\$

Тангенциальное ускорение — $\mathbf a_\tau$ направлено по касательной к траектории (обозначается иногда $\mathbf w_\tau, \mathbf u_\tau$ и т. д., в зависимости от того, какой буквой в данной книге принято обозначать ускорение). Является составляющей вектора ускорения a. Характеризует изменение скорости по модулю.

$a_\tau = \frac{d |\mathbf v|}{dt}$

Центростремительное или Нормальное ускорение $\mathbf a_n$ — возникает (не равно нулю) всегда при движении точки по окружности (конечного радиуса) (также обозначается иногда $\mathbf w_\tau, \mathbf u_\tau$ и т. д.). Является составляющей вектора ускорения a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Характеризует изменение скорости по направлению. Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру окружности, а модуль равен:

$|\vec a| = \omega ^2 r = {v^2 \over r}$

Угловое ускорение — показывает, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени, и, по аналогии с линейным ускорением, равно:

$\vec \varepsilon = {d\vec \omega \over dt}$

Направление вектора здесь показывает, увеличивается или уменьшается модуль скорости. Если векторы углового ускорения и скорости сонаправлены, значение скорости растёт, и наоборот.

Ускорение точки при движении по кривой

Разложение ускорения по сопутствующему базису для движения в плоскости

Вектор ускорения $\vec a$ можно разложить по сопутствующему базису $\left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\}$:

$\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b}$,

где

• $v\$ — величина скорости,
• ${\vec \tau}$ — единичный касательный к траектории вектор, направленный вдоль скорости (касательный орт),
• ${\vec n}$ — орт главной нормали к траектории, который можно определить как единичный вектор в направлении $d \vec \tau / d l$,
• ${\vec b}$ — орт бинормали к траектории,
• $R$ — радиус кривизны траектории.

${a}_b{\vec b}$, называемое бинормальным ускорением, всегда равно нулю. Это можно считать прямым следствием определения векторов $\vec n, \vec b$: можно сказать, что они выбираются именно так, чтобы первый всегда совпадал с нормальным ускорением, второй же ортогонально первому.

Векторы ${a}_\tau{\vec \tau}$ и ${a}_n{\vec n}$ называются касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями соответственно.

Итак, учитывая сказанное выше, вектор ускорения всегда можно записать как:

$\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{R} {\vec n}$,

Ускорения в твёрдом теле

Основная статья: Кинематика твёрдого тела

Связь ускорений двух точек можно получить, продифференцировав формулу Эйлера для скоростей по времени:

$\vec{w}_B = \vec{w}_A + \left[\vec{\omega}, \left[ \vec{\omega}, \vec{AB}\right] \right] + \left[ \varepsilon, \vec{AB} \right]$,

где $\vec{\omega}$ — вектор угловой скорости тела, а $\vec{\varepsilon}$ — вектор углового ускорения тела.

Второе слагаемое называется осестремительным ускорением.

Ускорение при сложном движении

Основная статья: Сложное движение

Говорят, что материальная точка (тело) совершает сложное движение, если она движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. Тогда абсолютное ускорение тела равно сумме относительного, переносного и кориолисова:

$\vec a_a=\vec {a}_r + \vec {a}_e + 2\left[\vec \omega \times \vec {v}_r \right]$.

Динамика точки

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчёта. В этих системах отсчёта равномерное прямолинейное движение имеет место в том случае, когда тело (материальная точка) не подвергается никаким внешним воздействиям в процессе своего движения. На основе этого закона возникает ключевое для механики понятие силы как такого внешнего воздействия на тело, которое выводит его из состояния покоя или влияет на скорость его движения. Таким образом, постулируется, что причиной возникновения ненулевого ускорения в инерциальной системе отсчёта всегда является некоторое внешнее силовое воздействие.

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение материальной точки всегда пропорционально приложенной к ней и порождающей ускорение силе, причём коэффициент пропорциональности всегда один и тот же независимо от вида силового воздействия (он называется массой материальной точки):

$m \vec a = \vec F.$

Единицы измерения ускорения

• метр на секунду в квадрате (метр в секунду за секунду), м/с², производная единица системы СИ
• сантиметр на секунду в квадрате (сантиметр в секунду за секунду), см/с², производная единица системы СГС

Преобразования между различными единицами ускорения

	м/с2	фут/с2	g0	см/с2
1 м/с2 =	1	3.28084	0.101972	100
1 фут/с2 =	0.304800	1	0.0310810	30.4800
1 g0 =	9.80665	32.1740	1	980.665
1 см/с2 =	0.01	0.0328084	0.00101972	1

Измерение ускорения

Приборы для измерения ускорения называются акселерометрами. Они не измеряют ускорение непосредственно, а измеряют силу реакции (укр.)русск. опоры, которая возникает при ускоренном движении. Поскольку аналогичные силы сопротивления возникают также и в поле тяготения, то с помощью акселерометров можно измерять также и гравитацию.

Акселерографы — приборы, измеряющие и автоматически записывающие (в виде графиков) значения ускорения поступательного и вращательного движения.

Примеры ускорений

Значения ускорений различных движений:^[1]

Вид движения	Ускорение, м/с2
Аварийное торможение автомобиля	4—6
Автомобиль «Жигули»	1,5
Бегун на коротких дистанциях	1,5
Велосипедист	1,7
Гоночный автомобиль	8—9
Запуск и торможение космического корабля	4—6 g
Конькобежец	1,9
Манёвр реактивного самолёта	до 10 g
Микрочастицы в ускорителе	(2—50) · 1014
Мотоцикл	3—6
Пассажирский лифт	0,9—1,6
Поезд метро	1
Поршень двигателя внутреннего сгорания	3 · 103
Пуля в стволе винтовки	2,5 · 105
Свая после удара копром	300
Торможение при открытии парашюта	3 g

Примечание: g ≈ 9,81 м/с².

См. также

	Ускорение в Викисловаре?
	Ускорение в Викитеке?
	Ускорение на Викискладе?

• Ускорение свободного падения
• Релятивистски равноускоренное движение

Примечания

1. ↑ Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. — 10-е, испр. и доп.. — М.: Наука, 1988. — С. 61. — 256 с. — ISBN 5-02-013833-9

Ссылки

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.