- Инверсия (геометрия)
-
Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.
Содержание
Определение
Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность с центром (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом . Инверсия точки относительно есть точка , лежащая на луче такая, что
Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.
Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» и считают её инверсным образом , а — инверсным образом . В этом случае, инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».
Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.
Свойства
Инверсия относительно окружности с центром O обладает следующими основными свойствами:
- Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
- Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
- Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
- Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
- Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
- Окружность или прямая, перпендикулярная к , переходит в себя.
Построение
Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом[1]:
- Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'
- Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'
- Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой
Координатные представления
Декартовы координаты
Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением
- .
Если точку плоскости задать одной комплексной координатой , то это выражение можно представить в виде
- ,
где — комплексно сопряжённое число для . Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.
В общем случае, инверсия относительно окружности с центром в точке и радиусом задаётся соотношением
- .
Полярные координаты
Инверсия относительно окружности радиуса с центром в начале координат задаётся соотношением
- .
Применение
С помощью инверсии можно решить известную задачу Аполлония, математически описать принцип действия механизма Липкина — Посселье.
Примечания
- ↑ Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 41—42. — 288 с.
Ссылки
Инверсия (геометрия) на Викискладе? - Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
- Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
- Жижилкин И. Д. Инверсия. М.: МЦНМО, 2009.
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. Гл. III, § 4.
Категории:- Евклидова геометрия
- Планиметрия
- Преобразования
Wikimedia Foundation. 2010.