Электромагнитный потенциал

У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал.

Классическая электродинамика

Электричество · Магнетизм

Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Никола Тесла Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

См. также: Портал:Физика

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырехмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего $A_i$ или $\phi_i$, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты $A_0,A_1,A_2,A_3$ или $\phi_0,\phi_1,\phi_2,\phi_3$, причём индексом 0 как правило обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В этой статье мы будем придерживаться первого обозначения.
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчета электромагнитный потенциал $(A_0,\ A_1,\ A_2,\ A_3)$ распадается^[1] на скалярный (в трехмерном пространстве) потенциал $\phi \equiv A_0$ и трехмерный векторный потенциал $\vec A \equiv (A_x,A_y,A_z) \equiv (-A_1,-A_2,-A_3)$; эти потенциалы $\phi\$ и $\vec A$ - и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трехмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряженность электрического поля выражается через ф, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряженность магнитного поля (магнитная индукция)^[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное — всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трехмерных векторных обозначениях^[3]:

$\vec E = -\nabla \phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t},$

$\vec B = \nabla \times \vec A,$

где $\vec E$ — напряженность электрического поля, $\vec B$ — магнитная индукция (или — что в случае вакуума в сущности то же самое — напряженность магнитного поля), $\nabla$ — оператор набла, причём $\nabla\phi \equiv \mathrm{grad}\, \phi$ — градиент скалярного потенциала, а $\nabla\times\vec A \equiv \mathrm{rot}\, \vec A$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырехмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu},$

где $F_{\mu \nu}$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты $E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z$.

Приведенное выражение является обобщением выражения ротора для случая четырехмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, компоненты $A_0,A_1,A_2,A_3$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

Физический смысл

Физический смысл четырехмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что этот потенциал при взаимодействии с заряженной частицей^[4] (с электрическим зарядом q) дает добавку в фазу $\varphi$ ее квантовой волны вероятности:

$\Delta \varphi = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i dx^i = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i u^i d\tau$,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя $1/\hbar$, а в системе единиц, где $\hbar= 1$ — просто совпадает с ней).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

Примечания

1. ↑ В данной записи использовано ковариантное представление электромагнитного потенциала в сигнатуре лоренцевой метрики (+---), используемое и в других формулах статьи. Контравариантное представление $A^i \equiv (A^0,\ A^1,\ A^2, A^3) = (\phi,\ A_x,\ A_y,\ A_z)$ отличается от ковариантного в лоренцевой метрике (такой сигнатуры) лишь знаком трёх пространственных компонент. В представлении с мнимой временной компонентой (в формально евклидовой метрике) электромагнитный потенциал всегда записывается в одинаковом виде: $(i\ \phi,\ A_x,\ A_y,\ A_z)$.
2. ↑ В этой статье мы рассматриваем лишь поля в вакууме, поэтому напряженность магнитного поля и магнитная индукция в сущности не различаются (правда, в некоторых системах единиц, например, в СИ, они имеют разную размерность, но даже в таких единицах в вакууме отличаются друг от друга лишь постоянным множителем).
3. ↑ В зависимости от используемой системы физических единиц, в эти формулы, а также в формулы, связывающие четырехмерный электромагнитный потенциал с трехмерными векторным потенциалом и скалярным потенциалом, могут входить различные размерные постоянный коэффициенты; мы для простоты приводим формулы в системе единиц, где скорость света равна единице, и все скорости безразмерны.
4. ↑ Имеется в виду точечная частица без магнитного момента.

См. также

• Электростатический потенциал
• Векторный потенциал