Неравенство Фридрихса

Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная Куртом Фридрихсом (англ.). Оно указывает границу для L^p-нормы функции, используя L^p границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева.

Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства Rⁿ с диаметром d. Предположим, что u : Ω → R принадлежит пространству Соболева $W_{0}^{k, p} (\Omega)$ (то есть $u\in W^{k,p}(\Omega)$ и tr u = 0). Тогда

$\| u \|_{L^{p} (\Omega)} \leq d^{k} \left( \sum_{| \alpha | = k} \| \mathrm{D}^{\alpha} u \|_{L^{p} (\Omega)}^{p} \right)^{1/p},$

где

• $\| - \|_{L^{p} (\Omega)}$ обозначает L^p-норму;
• α = (α₁, …, α_n) — мультииндекс с нормой |α| = α₁ + … + α_n;
• D^αu — смешанная частная производная

$\mathrm{D}^{\alpha} u = \frac{\partial^{| \alpha |} u}{\partial_{x_{1}}^{\alpha_{1}} \cdots \partial_{x_{n}}^{\alpha_{n}} }.$

Близким результатом является неравенство Пуанкаре (англ.).