Пространство Соболева

Пространство Соболева (в математике) — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ($L_p(Q)$), имеющих обобщенные производные заданного порядка из $L_p(Q)$. При $1\le p\le\infty$ пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева являются гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение $H^k(Q)$.

Для области $Q\subset R^n$ норма в соболевском пространстве $W^k_p(Q)$ порядка $k \ge1$ и суммируемых со степенью $1\le p<\infty$ вводится по следующей формуле:

$\|u\|_{W^k_p(Q)}=\left(\sum\limits_{\alpha\le k}\int\limits_Q|D^\alpha u|^pdx\right)^{1/p},$

а при $p=\infty$ норма выглядит следующим образом:

$\|u\|_{W^k_\infty(Q)}=\sum\limits_{\alpha\le k}\mathrm{ess } \sup|D^\alpha u|,$

где $\alpha$ — это мультииндекс, а операция $D^\alpha$ есть обобщенная производная по мультииндексу.

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Введение и история вопроса

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе К.О. Фридрихса 1934 года^[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева $H^1_0(Q)$ — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) еще не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе С.Л. Соболева^[2] вводятся обобщенные решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщенные решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Ф. Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха-Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева-Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщенные решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах О.А. Ладыженской было предложено определять обобщенные решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщенных решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах современной математики.

Свойства пространств Соболева

• Для любой области $Q'\subset Q$ из $f\in W^k_p(Q)$ следует, что $f\in W^k_p(Q')$.
• Если $f\in W^k_p(Q)$ и $a\in C^k(\overline Q)$, то $af\in W^k_p(Q)$.
• Если $f\in W^k_p(Q)$ финитная в $Q$, то продолжение этой функции нулем принадлежит $W^k_p(Q')$ для любой $Q\subset Q'$.
• Пусть $y=y(x)$ есть гладкое и взаимно однозначное отображение области $Q$ на область $\Omega$ и $F\in W^k_p(\Omega)$, тогда функция $f(x)=F(y(x))$ принадлежит пространству $W^k_p(Q)$.
• Пространства Соболева $W^k_p(Q)$ являются сепарабельными пространствами.
• Если граница области $Q$ удовлетворяет условию Липшица, то множество $C^\infty(\overline Q)$ плотно в $W^k_p(Q)$.
• Пространства $W^k_p(Q)$ при $1<p<\infty$ являются рефлексивными пространствами.
• Пространства $W^k_2(Q)=H^k(Q)$ являются гильбертовыми пространствами.

Пространства Соболева $H^k_0(Q)$

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через $H^k_0(Q)$ и вводятся как замыкания множества $C^\infty_0(Q)$ по норме пространства $H^k(Q)$, где $C^\infty_0(Q)$ есть множество финитных в Q бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства $H^k_0(Q)$ являются замкнутыми подпространствами в $H^k(Q)$. При наличии определенной гладкости границы области Q это пространство совпадает с множеством функций из $H^k(Q)$, имеющих нулевой след на границе области Q и нулевой след всех обобщенных производных вплоть до $k-1$-го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве

Пространства Соболева $H^s(R^n)$ можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции $f(x)\in L_2(R^n)$ определено преобразование Фурье $\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx$, причем, $\hat{f}(\omega)\in L_2(R^n)$. Пространство Соболева $H^s(R^n)$ определяется следующим образом:

$H^s(R^n)=\{f\in L_2(R^n):(1+|\omega|^2)^{s/2}\hat{f}(\omega)\in L_2(R^n)\}$.

Пространства Соболева на торе

Пусть $T^n$ — $n$-мерный тор. Пространство Соболева на торе $T^n$, то есть $2\pi$-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

$H^k(T^n)=\{f\in L^2(T^n):\sum\limits_{m_1,\dots,m_n=-\infty}^\infty (1+m_1^{2k} + m_2^{2k} + \dots + m_n^{2k}) |f_{m_1m_2\dots m_n}|^2 < \infty\}$.

Пространства Соболева дробного порядка

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть $W^{s,p}$ или $H^s$.

В случае 0<s<1 пространство $W^{s,p}$ состоит из функций $f\in L_p(Q)$, $Q\subset R^n$ таких, что

$\|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|^p_{L_p(Q)}+\int_Q\frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+ps}}dxdy\right)^{1/p}.$

Для нецелого s>1 положим $s=[s]+\sigma$, где $[s]$ — целая часть s. Тогда $W^{s,p}(Q)$ состоит из элементов $W^{[s],p}(Q)$ таких, что $D^\alpha f\in W^{\sigma,p}(Q)$ для $|\alpha|=[s]$ с нормой

$\|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|^p_{W^{[s],p}(Q)}+\sum\limits_{|\alpha|=[s]}\|D^\alpha f\|^p_{W^{\sigma,p}(Q)}\right)^{1/p}.$

Пространства Соболева отрицательного порядка

При рассмотрении обобщенных решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство $H^{-k}(Q)$ определяется по формуле:

$H^{-k}(Q)=\left(H^k_0(Q)\right)'$

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщенных функций. Так, например, пространство $H^{-1}(-1,1)$ содержит дельта-функцию Дирака.

Теоремы вложения

Предполагая, что граница области $Q\subset R^n$ удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева

Если $k+n/p<s$, то имеет место непрерывное вложение

$W^s_p(Q)\subset C^k(\overline Q)$.

Здесь k предполагается целым и неотрицательным, а s может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха-Кондрашова

Пусть область Q ограничена, $s_1>s_2$, $1<p_1,p_2<\infty$ и $n(1/p_1-1/p_2)<s_1-s_2$, тогда: вложение $W^{s_1}_{p_1}(Q)\subset W^{s_2}_{p_2}$ вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

Показательные примеры

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции

Пусть $Q=\{x\in R^2:|x|<1/2\}$ — круг на плоскости. Функция $u(x)=\ln|\ln|x||$ принадлежит пространству $H^1(Q)$, но имеет разрыв второго рода в точке $x=0$.

Пространства Соболева в одномерном случае

Функции из пространства $H^1(a,b)$ являются непрерывными, более того представимые по формуле:

$f(x)=f(a)+\int_a^xF(t)dt$, ^{[источник не указан 188 дней]}

где функция $F\in L_2(a,b)$ является обобщенной производной функции $f$ на $[a,b]$.

Для любых двух функций из пространства $H^1(a,b)$ произведение этих функций также принадлежит $H^1(a,b)$. Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Примечания

1. ↑ Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465-487.
2. ↑ S. Soboleff, “Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales”, Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39–72

Литература

• Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R.A. Adams, J.J.F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976