Дифракция Френеля

Схема эксперимента дифракции на круглом отверстии

Дифра́кция Френе́ля — дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятствия, по условиям, когда основной вклад в интерференционную картину дают границы экрана.

На рисунке схематично изображён (слева) непрозрачный экран с круглым отверстием (апертура), слева от которого расположен источник света. Изображение фиксируется на другом экране - справа. Вследствие дифракции свет, проходящий через отверстие, расходится, поэтому область, которая была затемнена по законам геометрической оптики, будет частично освещённой. В области, которая при прямолинейном распространении света была бы освещённой, наблюдаются колебания интенсивности освещения в виде концентрических колец.

Дифракционная картина для дифракции Френеля зависит от расстояния между экранами и от расположения источников света. Её можно рассчитать, считая, что каждая точка на границе апертуры излучает сферическую волну по принципу Гюйгенса. В точке наблюдения (занимаемое вторым экраном) волны или усиливают друг друга, или гасятся в зависимости от разности хода.

Интеграл Френеля

В скалярной теории дифракции распределение электрического поля дифрагирующего света в точке (x,y,z) задаётся выражением Релея-Зоммерфельда:

$E(x,y,z)=-{i \over \lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}{ E(x',y',0) \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta}dx'dy'$

где $r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}$, $i \,$ — мнимая единица, и $\cos \theta = \frac{z}{r}$ — косинус угла между направлениями z и r. В аналитическом виде этот интеграл представим, только для простейших геометрий отверстий, поэтому он вычисляется обычно численными методами.

Аппроксимация Френеля

Главная трудность при вычислении интеграла представляет собой выражение для r. Во-первых, упростим вычисления, сделав замену переменных:

$\rho^2 = (x-x')^2+(y-y')^2 \,$

Подставляя это выражение вместо r, найдём:

$r= \sqrt{\rho^2+z^2} = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} }$

Воспользуемся разложением Тейлора в ряд

$\sqrt{1+u} = (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots$

и выразим r в виде

$r = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } = z \left[ 1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] = z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots$

Если мы рассмотрим все члены разложения это будет точным выражением.^[1]. Подставим это выражение в аргумент экспоненциальной функции под интегралом; ключевую роль в приближении Френеля играет пренебрежение третьего члена в разложении, который предполагается малым. Чтобы это было возможным, он должен слабо влиять на показатель степени. Другими словами, он должен быть намного меньше чем период показателя экспоненты, то есть $2 \pi$:

$k \frac{\rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi.$

Выражая k в терминах длины волны,

$k = { 2 \pi \over \lambda } \,$

получим следующее соотношение:

$\frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8$

Умножая обе стороны на $z/\lambda$, получим

$\frac{\rho^4}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}$

или, подставляя ранее полученное выражение для ρ²,

$\frac{[(x-x')^2+(y-y')^2]^2}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}$

Если это условие выполняется для всех значений x, x' , y и y' , тогда мы можем пренебречь третьим членом в разложении Тейлора. Более того, если третий член мал, то все последующие слагаемые более высоких порядков тоже малы и ими можно пренебречь. Тогда можно аппроксимировать выражение используя два члена разложения:

$r \approx z + \frac{(x-x')^2 +(y-y')^2}{2 z}$

Это выражение называется приближением Френеля, а неравенство полученное ранее есть условие применимости этого приближения.

Дифракция Френеля

Условие применимости достаточно слабо, и позволяет все характерные размеры взять как сравнимые величины, если апертура много меньше, чем длина пути. К тому же так как нас интересует только малая область недалеко от источника величины x и y много меньше чем z, предположим $\theta \approx 0$, что означает $\cos \theta \approx 1$ и r в знаменателе можно аппроксимировать выражением $r \approx z$.

В противоположность дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля должна учитывать кривизну волнового фронта, для того чтобы правильно учесть относительные фазы интерферирующих волн.

Электрическое поле для дифракции Френеля в точке (x,y,z) дано в виде:

$E(x,y,z)=-{i \over \lambda}{e^{ikz} \over z}\iint_{-\infty}^{+\infty} E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy'$

Это - интеграл дифракции Френеля; он означает, что, если приближение Френеля действительно, распространяющееся поле - сферическая^{[источник не указан 1309 дней]} волна, начинающаяся в апертуре и движущаяся вдоль z. Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения возможно только в редких случаях. Для дальнейшего упрощения, действительного только для намного больших расстояний от источника дифракции, см. дифракция Фраунгофера.

Примечания

1. ↑ Приближение однако было в предыдущем шаге, когда мы предположили, что $e^{i k r}/r$ реальная волна. В действительности не существует действительного решения векторного уравнения Гельмгольца, только для скалярного. См. скалярное волновое приближение

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. IV. Оптика.

Внешние ссылки

• http://www.falstad.com/diffraction/

См. также

• Дифракция Фраунгофера
• Интеграл Кирхгофа
• Интегралы Френеля