Теория категорий

Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла применения в информатике[2], логике [3] и в теоретической физике[4][5][уточнить]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры немыслимо без применения теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell[6].

Содержание

Определение

Категория \mathcal{C} — это:

  • класс объектов Ob_{\mathcal{C}};
  • для каждой пары объектов A,B задано множество морфизмов (или стрелок) \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B), причём каждому морфизму соответствует единственные A и B;
  • для пары морфизмов f\in \mathrm{Hom}(A,B) и g\in \mathrm{Hom}(B,C) определена композиция g\circ f\in \mathrm{Hom}(A,C);
  • для каждого объекта A задан тождественный морфизм id_A\in \mathrm{Hom}(A,A);

причём выполняются две аксиомы:

  • операция композиции ассоциативна: h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f и
  • тождественный морфизм действует тривиально: f\circ id_A = id_B\circ f = f для f\in \mathrm{Hom}(A,B)
Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру[7].

Примеры категорий

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Диаграмма аксиом категорий

Двойственность

Для категории \mathcal{C} можно определить двойственную категорию \mathcal{C}^{op}, в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм f\in \mathrm{Hom}(A,B) называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g \in \mathrm{Hom}(B,A), что g\circ f = id_A и f\circ g = id_B. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов \mathrm{End}(A) = \mathrm{Hom}(A,A) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом id_A.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов \mathrm{Aut}(A) по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм f\in \mathrm{Hom}(A,B) такой, что для любых g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A) из f\circ g_1 = f\circ g_2 следует, что g_1=g_2. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X) из g_1\circ f = g_2\circ f следует g_1=g_2.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество \empty, терминальным — множество из одного элемента \{\cdot\}.
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Прямое произведение

Произведение (пары) объектов A и B — это объект A\times B с морфизмами p_1: A\times B\to A и p_2: A\times B \to B такими, что для любого объекта C с морфизмами f_1: C\to A и f_2: C\to B существует единственный морфизм g: C \to A\times B такой, что диаграмма справа коммутативна. Морфизмы p_1: A\times B\to A и p_2: A\times B \to B называются проекциями.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение A+B объектов A и B. Соответствующие морфизмы \imath_A: A\to A+B и \imath_B: B \to A+B называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B — это произведение в смысле теории множеств A\times B, а прямая сумма — дизъюнктное объединение A \sqcup B.
Пример: В категории Ring прямая сумма — это тензорное произведение A\otimes B, а прямое произведение — сумма колец A\oplus B.
Пример: В категории VectK (конечные) прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств A\oplus B.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов \prod_{i\in I} A_i. Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения \prod_{i\in I} V_i являются произвольные бесконечные последовательности элементов v_i \in V_i, в то время как элементами бесконечного копроизведения \coprod_{i\in I} V_i являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор \mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D} ставит в соответствие каждому объекту категории \mathcal{C} объект категории \mathcal{D} и каждому морфизму f: A\to B морфизм F(f): F(A)\to F(B) так, что

  • F(id_A) = id_{F(A)} и
  • F(g)\circ F(f) = F(g\circ f).

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из \mathcal{C} в \mathcal{D}^{op} , то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Некоторые типы категорий

  • Моноидальные категории
  • Абелевы категории
  • Топосы

См. также

Ссылки

  1. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  4. Нужна ли физикам теория категорий?. Оригинал http://arxiv.org/abs/0808.1032
  5. Топосы для физики.  (англ.)
  6. Category theory in Haskell  (англ.). Архивировано из первоисточника 24 августа 2011. Проверено 13 марта 2011.
  7. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Литература

  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
  • Букур [Bucur I.] Деляну[Deleanu A.] Введение в теорию категорий и функторов. — том 19 серии Pure & applied mathematics — a series of texts & monographs — 1972 [1968].
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
  • Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
  • Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
  • Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Теория категорий" в других словарях:

  • Предел (теория категорий) — У этого термина существуют и другие значения, см. Предел. В теории категорий предел диаграммы  это конструкция, обобщающая многие универсальные диаграммы самой теории категорий. Примеры Уравнитель Произведение Коуниверсальный квадрат… …   Википедия

  • Произведение (теория категорий) — Произведение двух или более объектов  это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов  это в… …   Википедия

  • Группоид (теория категорий) — У этого термина существуют и другие значения, см. Группоид. В теории категорий группоид  это категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп. А именно, категория, соответствующая… …   Википедия

  • Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… …   Википедия

  • Теория топосов — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Теория топосов  раздел теории категорий, изучающий топосы  категор …   Википедия

  • Теория вероятностей — График плотности вероятности нормального распределения  одной из важнейших функций, изучаемых в рамках теории вероятностей …   Википедия

  • Теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой… …   Википедия

  • ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ — Гносеология (от греч. gno sis знание, logos слово, понятие), Эпистемолог и я (от греч. episteme знание) раздел философии, исследующий природу человеческого познания, его источники и предпосылки, отношение знания к предмету познания, условия… …   Философская энциклопедия

  • Теория литературы — теоретическая часть литературоведения, входящая в литературоведение наряду с историей литературы и лит ой критикой, опирающаяся на эти области литературоведения и вместе с тем дающая им принципиальное обоснование. С другой стороны, Т. л.… …   Литературная энциклопедия

  • Теория «Смысл ↔ Текст» — теория языка, созданная И. А. Мельчуком и представляющая его как многоуровневую модель преобразований смысла в текст и обратно (модель «Смысл ↔ Текст»); отличительной особенностью этой теории является также использование синтаксиса зависимостей и …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»