Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов $P^\lambda_n(x;\varphi),\;\lambda >0,\;0<\varphi<\pi,\;n=\{0,1,...\}$, которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

Рекурсивное определение

$P^\lambda_{-1}=0$

$P^\lambda_0=1$

$nP^\lambda_n-2\left((n-1+\lambda)\cos\varphi+x\sin\varphi\right)P^\lambda_{n-1}+(n-2+2\lambda)P^\lambda_{n-2}=0$

Свойства

• Симметричные многочлены Полачека $\left(P^\lambda_n(x;\pi/2)\right)$ ортогональны на всей вещественной оси с весом:

$\frac{1}{2\pi}\frac{2^{2\lambda}}{\Gamma(2\lambda)}{|\Gamma(\lambda+ix)|}^2$, где $\Gamma$ — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

$P^\lambda_n(x;\pi/2)G(\lambda,x)=\frac{{-1}^n}{n!}\delta^nG\left(\lambda+\frac{n}{2}\right)$, где $G(\lambda,x)=\frac{\Gamma(\lambda+ix)}{\Gamma(1-\lambda+ix)}e^{\pi x}$ — мероморфная функция, а $\delta$ — оператор конечной разности $(\delta F)(x)=F\left(x+\frac{i}{2}\right)-F\left(x-\frac{i}{2}\right)$

Литература

• В. Н. Сорокин Обобщенные многочлены Полачека (рус.) // Матем. сб.. — 2009. — Т. 200. — № 4. — С. 113—130.