Многочлены Лягерра

В математике, Многочлены Лягерра, названные в честь Эдмона Лягерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лягерра:

$x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,$

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Это уравнение имеет несингулярное решение только в случае, когда n неотрицательное целое. Многочлены Лягерра также используются в квадратурной формуле Гаусса-Лягерра численного вычисления интегралов вида: $\int_0^\infty f(x) dx$.

Многочлены Лягерра, обычно обозначающиеся как $L_0, L_1, \dots$, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).$

$L_n(x)=\sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\choose k}x^k.$

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

$\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.$

Последовательность полиномов Лягерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лягерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лягерра.

Несколько первых многочленов

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лягерра:

n	$L_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,$
3	${\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$
4	${\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$
5	${\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$
6	${\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

Первые 6-ть многочленов Лягерра.

Рекуррентная формула

Полиномы Лягерра можно определить рекуррентной формулой:

$L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right), \forall k \geqslant 1$

предопределив первые два полинома как:

$L_0(x) = 1\,$

$L_1(x) = 1 - x\,$

Обобщённые полиномы Лягерра

Обобщённые полиномы Лягерра имеют вид:

$~L_{n,l}=A_0+A_1r+...+A_{n-1-l}r^{n-l-1}$

где:

• $~n$ — главное (радиальное) квантовое число;
• $~l$ — орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Обобщённые полиномы Лягерра $L_n^a(x)$ являются решениями уравнения:

$x\,y'' + (a + 1 - x)\,y' + n\,y = 0\,$

так что $L_n(x) = L_n^0(x)$.