- Пространство Шварцшильда
-
Общая теория относительности Математическая формулировка ОТО
КосмологияФундаментальные идеи Специальная теория относительности
Пространство-время
Принцип эквивалентности
Мировая линия · Псевдориманова геометрияЯвления Задача двух тел в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационные волны
Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических
Горизонт событий · Гравитационная сингулярность
Чёрная дыраУравнения Линеаризованная ОТО
Параметризованный постньютоновский формализм
Уравнения ЭйнштейнаРазвитие теории Теории типа Калуцы — Клейна
Квантовая гравитация
Теории гравитацииТочные решения ОТО Шварцшильда
Райсснера — Нордстрёма · Керра
Керра — Ньюмена · Решение Гёделя
Казнера · Модель Милна ·Фридмана — Леметра — Робертсона — Уолкера
Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Робертсон · Керр · Чандрасекар · Хокинг
и другие…Метрика Шварцшильда — это (единственное в силу теоремы Биркхофа) сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве. В частности, она описывает гравитационное поле шварцшильдовской (невращающейся, незаряженной) чёрной дыры и гравитационное поле снаружи от сферически симметричного массивного тела.
Содержание
Вид метрики
В так называемых Шварцшильдовских координатах , из которых 3 последних аналогичны сферическим, метрический тензор имеет вид
Интервал в этой метрике записывается как
где — так называемый гравитационный радиус.
Координата r не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы в данной метрике была равна . При этом «расстояние» между двумя событиями с разными r (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом
При или метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что пространство-время вдали от массивного тела оказывается приблизительно плоским. Так как при r > rg и g00 монотонно возрастает с ростом r, то собственное время в точках вблизи тела течёт медленнее, чем вдалеке от него, то есть происходит своеобразное замедление времени массивными телами.
Дифференциальные характеристики
Обозначим
Тогда не равные нулю независимые компоненты символов Кристоффеля имеют вид
Инварианты тензора кривизны равны
Тензор кривизны относится к типу по Петрову.
Дефект массы
Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) a, то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле
В частности, для статического распределения вещества , где — плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен
получим, что
Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела. Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.
Особенность в метрике
На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при r = 0 и при r = rg. Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время для достижения поверхности r = rg, однако в сопутствующей системе отсчёта видно, что, с точки зрения падающего наблюдателя, никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, а сама поверхность будет достигнута за конечное собственное время.
Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при , где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны. Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.
Горизонт событий
Поверхность r = rg называется горизонтом событий. При более удачном выборе координат можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра — полной массы тела.
Орбитальное движение
Литература
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.