Неизмеримые множества

Мера Лебе́га на $\R^n$ — мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году.

Построение меры на прямой

Внешняя мера

Для произвольного подмножества E числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество E. Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества E, и называется внешней мерой:

$m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.$

Варианты обозначения внешней меры:

$m^*E=\varphi(E)=|E|^*.$

Очевидно, внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной.

Свойства внешней меры

• $E_1\subseteq E_2\Longrightarrow m^*E_1\leqslant m^*E_2.$
• $E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Longrightarrow m^*E\leqslant\sum_{k=1}^\infty m^*E_k.$
• $\forall E,\;\varepsilon>0\;\exists G\supseteq E\!:m^*G\leqslant m^*E+\varepsilon$, где G — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве G взять сумму интервалов, составляющих покрытие E, такую что $\sum_i\Delta_i\leqslant m^*E+\varepsilon$. Возможность существования такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

Внутренняя мера

Если множество E ограничено, то внутренней мерой множества E называется разность между длиной сегмента $[a,\;b]$ содержащего E и внешней мерой дополнения E в $[a,\;b]$:

$m_*E=(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E).$

Для неограниченных множеств, m _* E определяется как точная верхняя грань $(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E)$ по всем отрезкам $[a,\;b]$.

Измеримые множества

Множество называется измеримым по Лебегу, если его внешняя и внутренняя меры равны. Тогда общее значение последних называется мерой множества по Лебегу и обозначается mE, μE, | E | или λ(E).

Пример неизмеримого множества

Рассмотрим на прямой отрезок $[0,\;1]$. Если две точки отстоят друг от друга на рациональное расстояние, то будем считать, что они принадлежат одному классу эквивалентности. Разобьём весь отрезок на такие классы эквивалентности. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке. Тогда полученное множество представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть его счётное число раз, то оно заполнит весь отрезок. Если бы у построенного множества E существовала мера, то она должна быть либо равна нулю, либо быть больше нуля. По счётной аддитивности меры Лебега $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mu(E)=1$, что невозможно (если μ(E) = 0, то и сумма ряда равна нулю, а если μ(E) > 0, то сумма ряда равна бесконечности) а значит μ(E) не существует.

Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (было бы невозможно выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

См. также

• Теорема Лебега о разложении меры
• Мера Жордана
• Мера Хаусдорфа

Литература

• Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — С. 352.
• Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6.