Начальный объект

Объект категории — неопределяемое понятие теории категорий. Термин, используемый для обозначения элементов произвольной категории, играющих роль множеств, групп, топологических пространств и т. п.

Каждая категория состоит из элементов двух классов, называемые классом объектов и классом морфизмов соответственно. Деление элементов категории на объекты и морфизмы имеет смысл только в пределах фиксированной категории, так как объекты одной категории могут быть морфизмами другой и наоборот.

Класс объектов категории $\mathcal C$ обычно обозначается $Ob\,\mathcal C$. Любому объекту A категории $\mathcal C$ однозначно соответствует единичный морфизм $1_A\colon A\to A$, причём разным объектам отвечают разные единичные морфизмы. Поэтому формально можно определить понятие категории только с помощью морфизмов. Однако термин «объект категории» является удобным языковым средством, которое практически всегда используется.

Некоторые типы объектов

• Объект $P\in Ob\,\mathcal C$ называется универсальным притягивающим (терминальным) объектом, если для любого объекта $A\in Ob\,\mathcal C$ существует единственный морфизм $A \stackrel{f}{\longrightarrow} P$.
• Объект $R\in Ob\,\mathcal C$ называется универсальным отталкивающим (инициальным, начальным) объектом, если для любого объекта $A\in Ob\,\mathcal C$ существует единственный морфизм $R \stackrel{f}{\longrightarrow} A$.
• Объект $R\in Ob\,\mathcal C$ называется нулевым, если он одновременно универсальный притягивающий и отталкивающий.

Литература

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].