Конечно порождённое расширение

Коне́чно порождённое расшире́ние — расширение поля EÉ K, такое, что в E существуют элементы α₁, ... α_n и E=K(α₁, ... α_n). Элементы E представляют алгебраические дроби $\frac{f(\alpha_1,...\alpha_n)}{g(\alpha_1,...\alpha_n)}$, где f и g — многочлены. Если n=1, то расширение K(α) называется простым.

Свойство конечно порождённых расширений

Если конечно порождённое расширение E=K(α₁;, ... α_n) алгебраично над K, то оно конечно.

Для простого алгебраического расширения E=K(α) это следует из того, что множество значений многочленов от α : K[α]Ì K(α) является не только кольцом, но и полем. В самом деле пусть g(α)≠0. Тогда многочлен g(x) не делится на неприводимый многочлен f(x) для α над K, значит взаимно прост с ним. Отсюда следует, что существуют такие многочлены a(x) и b(x) над K, что a(x)f(x)+b(x)g(x)=1, подставляя в это равенство α имеем b(α)g(α)=1, т.е. g(α) обратим и K[α] является искомым полем K(α). Таким же образом деля g(x) на f(x) получаем, что если f(x) имеет степень n, то [E:K]=n

Для расширения от нескольких элементов имеем: K(α₁,α₂,...α_n)=K(α₁)(α₂)...(α_n) Элементы α_i будучи алгебраическими над K остаются таковыми и над большим полем K(α₁)...(α_i-1). Далее применяем теорему о башне конечных расширений.

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также