Числа Каллена

В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n • 2ⁿ + 1 (пишется C_n). Числа Каллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

Свойства

В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых $n \leq x$, для которых C_n простое, есть o(x) для $x\to\infty$. В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел n • 2^n+a + b где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные числа числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.

Есть предоложениея, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

К августу 2009, наибольшим известным числом Каллена было 6679881 × 2^6679881 + 1. Это мегапростое число с 2,010,852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.^[1]

Числа Каллена C_n делятся на p = 2n − 1 если p простое число вида 8k - 3. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечетное, то p делит C_m(k) для каждого m(k) = (2^k − k)   (p − 1) − k (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит C_{(p + 1) / 2} когда символ Якоби (2 | p) есть −1, и что p делит C_{(3p − 1) / 2} когда символ Якоби (2 | p) есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число p, такое что C_p тоже простое.

Обобщения

Иногда обобщенными числами Каллена называют числа вида n • bⁿ + 1, где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщенным простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.

К февралю 2012 гда наибольшим известным обобщенным простым числом Каллена было 427194 × 113 ⁴²⁷¹⁹⁴ + 1. Оно имеет 877,069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.^[2]

Ссылки

1. ↑ «The Prime Database: 6679881*2^6679881+1», <http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89536>. Проверено 22 декабря 2009. 
2. ↑ «The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1», <http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=104121>. Проверено 30 января 2012. 

Дальнейшее чтение

• Cullen, James (1905), "«Question 15897»", Educ. Times: 534 .
• Guy, Richard K. (2004), «Unsolved Problems in Number Theory» (3rd ed.), New York: Springer Verlag, сс. section B20, ISBN 0-387-20860-7 .
• Hooley, Christopher (1976), «Applications of sieve methods», New York: Cambridge University Press, сс. 115–119, ISBN 0-521-20915-3 .
• Keller, Wilfrid (1995), "«New Cullen Primes»", Mathematics of Computation Т. 64 (212): 1733–1741, <http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf> .

Ссылки

• Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
• The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Cullen number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
• Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers