Почти все

Утверждение, зависящее от точки пространства с мерой, выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, пренебрежимо мало.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой. Обозначим символом T множество точек из X, для которых верно некоторое утверждение $\mathcal{A}$. Говорят, что утверждение $\mathcal{A}$ выполнено почти всюду (п.в.), если

$\mu(X\setminus T) = 0.$

Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» (п.н.).

Пример

• Функция Дирихле, определённая на $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$, где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ — борелевская сигма-алгебра, а m — мера Лебега, равна нулю почти всюду, ибо $m(\mathbb{Q}) = 0$.
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

• Почти все элементы бесконечного множества
• Сходимость почти всюду.