Обратимый элемент

Не следует путать с единичным элементом.

Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент $\mathbf a$ кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент $b$, что ${\mathbf a}b=b{\mathbf a}=e$, где e — единичный элемент кольца.

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой единиц или группой обратимых элементов.

Если $\mathbf a$ — делитель единицы, то элементы ${\mathbf a}x$ и $x{\mathbf a}$ называются ассоциированными с $x$.

Обычно понятия делителя единицы и ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Примеры

• В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и -1.
• В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
• В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы: $+1,\ -1,\ i,\ -i$.
• В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.:, Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т.1 — М.:, ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра — М.:, Мир, 1967.