Ограниченный линейный оператор

Линейный оператор из нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$ называется ограниченным если найдётся положительное вещественное число $M$ такое, что $\lVert Tx\rVert\le M\lVert x\rVert$ для всех $x$ в $X$. Наименьшая константа $M$, удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора $T$ и обозначается $\lVert T\rVert$.

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$ обозначается $L(X,Y)$. В случае когда $X=Y$ пишут $L(X)$ вместо $L(X,X)$. Если $H$ — Гильбертово пространство, то обычно пишут $B(H)$ вместо $L(H)$.

На $L(X,Y)$ можно ввести структуру векторного пространства с операциями $(T+S)x=Tx+Sx$ и $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$, где $T,S\in L(X,Y)$, $x,y\in X$, а $\alpha$ — произвольный скаляр. С введённой выше операторной нормой, $L(X,Y)$ превращается в нормированное пространство. В частности, $\lVert S+T\rVert\le\lVert S\rVert+\lVert T\rVert$ и $\lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert$ для любых $T,S\in L(X,Y)$ и для любого $\alpha$. Пространство $L(X,Y)$ является Банаховым тогда и только тогда, когда $Y$ — Банахово.

Пусть $X,Y$ и $Z$ — нормированные пространства, $S\in L(X,Y)$ и $T\in L(Y,Z)$. Композиция $S$ и $T$ обозначается $TS$ и называется «произведением» операторов $S$ и $T$. Заметим, что $TS\in L(X,Z)$ и $\lVert TS\rVert\le\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert$. Если $X$ — Банахово пространство, то $L(X)$ с введённым выше умножением является Банаховой алгеброй.

См. также Теория операторов.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.