- Линейно связное пространство
-
Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.
Содержание
Определения
- Рассмотрим отрезок числовой прямой с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек найдётся непрерывное отображение такое, что
- Пусть дано подмножество . Тогда на нём естественным образом определяется топология , индуцированная . Если пространство линейно связно, то подмножество также называется линейно связным в .
Связанные определения
- Каждое линейно связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства .
- Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно не связным.
- Если существует база топологии пространства , состоящая из линйно связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально линйно связными.
Примеры
- Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно не связного пространства.
Свойства
- Всякое линейно связное пространство связно.
-
- Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).
- Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда когда оно связно.
- Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
- Если пространство линейно связно и , то гомотопические группы и изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма .
Линейная связность на числовой прямой
Будем считать, что , а — стандартная топология числовой прямой. Тогда
- Подмножество линейно связно тогда и только тогда, когда
- то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
- Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным, открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
- Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
Обобщение
Многомерным обобщением линейной связности является -связность (связность в размерности ). Пространство называется связным в размерности , если любое отображение -мерной сферы в , где , гомотопно постоянному отображению.
В частности, линейно связное пространство это 0-связное пространство, то есть любое отображение двоеточия (то есть нульмерной сферы) гомотопно постоянному отображению.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категория:- Общая топология
- Рассмотрим отрезок числовой прямой с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек найдётся непрерывное отображение такое, что
Wikimedia Foundation. 2010.