Конус

Конус
Прямой круговой конус.
Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом.
Усечённый прямой круговой конус.

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Содержание

Связанные определения

  • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
  • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
  • Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
  • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
  • Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.
V={1 \over 3} SH,

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

  • Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
2\pi \left(1 - \cos {\alpha \over 2} \right),
где \alpha — угол раствора конуса.
  • Площадь боковой поверхности такого конуса равна
S = \pi R l,
  • Площадь поверхности такого конуса равна
S = \pi R (l + R),
где R — радиус основания, l — длина образующей.
  • Объём кругового конуса равен
V={1 \over 3} \pi R^2H.
  • Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:
V={1 \over 3} (HS_2-hS_1),

где S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

\theta = \Theta.
z = r\cdot\operatorname{tg}\Theta или r = z\cdot\operatorname{ctg}\Theta.
z = \plusmn \sqrt{x^2+y^2}\cdot \operatorname{tg}\Theta. Это уравнение в каноническом виде записывается как
\frac {x^2} {a^2} +  \frac {y^2} {a^2} - \frac {z^2}  {c^2} = 0,

где константы a, с определяются пропорцией c/a = \sin \Theta/\cos\Theta. Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

\frac {x^2} {a^2} +  \frac {y^2} {b^2} - \frac {z^2}  {c^2} = 0,

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f(x,y,z)=0, где функция f(x,y,z) является однородной, то есть удовлетворяющей условию f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha^n f(x,y,z) для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора \varphi в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать развёртку конуса на бумаге или другом материале, чтобы из развёртки получить конус как наглядное пособие или промышленное изделие.

Вариации и обобщения

  • В алгебраической геометрии конус — это произвольное подподмножество K векторного пространства V над полем F, для которого для любого \lambda\in F
    \lambda K = K.
  • В топологии, конус над топологическим пространством X есть фактор-пространство X\times [0,\infty) по отношению эквивалентности (x,0)\sim (y,0).

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "Конус" в других словарях:

  • КОНУС — (лат. conus; греч. konos). Тело, ограниченное поверхностью, образующейся от обращения прямой, коей один конец неподвижен (вершина конуса), а другой двигается по окружности данной кривой; с виду похож на сахарную голову. Словарь иностранных слов,… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • КОНУС — муж. тело в виде сахарной головы, круглый клин: правильный конус образуется от обращенья прямоугольного треугольника вокруг одной из коротких сторон, как около оси; если конец неподвижного вверху отвеса обвести по окружности круга, то отвес… …   Толковый словарь Даля

  • КОНУС — (лат. conus от греч. konos) (в элементарной геометрии), геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов (рис.); объем конуса равен V=1/3?r2h, а площадь боковой поверхности S=?rl. Боковая… …   Большой Энциклопедический словарь

  • КОНУС — КОНУС, в геометрии фигура, очерчиваемая линией, так называемой образующей, которая соединяет точку, движущуюся по замкнутой кривой на плоскости, с фиксированной точкой (вершиной) вне этой плоскости. В правильном круговом конусе вершина лежит… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • КОНУС — КОНУС, конуса, муж. (греч. konos). 1. Геометрическое тело, создаваемое вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (мат.). || Всякое физическое тело, близкое по форме геометрическому конусу. «Предо мной свой белый конус ты… …   Толковый словарь Ушакова

  • КОНУС — (Cone) конус, поднимаемый на мачте в качестве сигнала вершиной вверх (одновременно ряд коротких сирен или пушечный выстрел). Этот сигнал может быть поднят каждым кораблем соединения и обозначает требование, чтобы все корабли, дав полный ход назад …   Морской словарь

  • конус — шатер, горнитос, зандр, пролювий Словарь русских синонимов. конус сущ., кол во синонимов: 7 • горнитос (1) • зандр …   Словарь синонимов

  • КОНУС — (1) в элементарной геометрии геометрическое тело, ограниченное поверхностью, образуемой движением прямой (образующей конуса) через неподвижную точку (вершину конуса) вдоль направляющей (основание конуса). Образуемая поверхность, заключённая между …   Большая политехническая энциклопедия

  • КОНУС — КОНУС, а, муж. 1. Геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Предмет такой формы. К. террикона. | прил. конусный, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • КОНУС — пароструйный прибор, при помощи к рого создается искусственным путем вытяжка в атмосферу продуктов сгорания из дымовой коробки паровоза. К. представляет собой раструб, к рым заканчиваются паровыпускные трубы из цилиндров паровозной машины. Струя… …   Технический железнодорожный словарь

  • Конус — (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращениемпрямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенузаназывается образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемыйвращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К.… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»