Теорема Гильберта о базисе

Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах:

Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также нётерово.

Доказательство

Пусть F — идеал в R[x] (мы здесь будем считать R коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а p множество старших коэффициентов многочленов, его составляющих. Докажем, что p — идеал.

В самом деле, если a и b — элементы p, то a и b являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из F — f(x)=axⁿ+… и g(x)=bx^m+… Если, например, m≥n, то a+b является старшим коэффициентом многочлена x^m-nf(x)+g(x) Î F. Если a является старшим коэффициентом f(x) то ar является старшим коэффициентом rf(x) Î F для любого элемента кольца r. Таким образом p — идеал, а так как R — нётерово кольцо, то p конечно порождается некоторыми элементами a₁, a₂…a_n, являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов f₁, f₂…f_n Î F. Пусть наибольшая степень этих многочленов равна r. Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна r (если она равна m<r, то можно сделать её такой домножая на x^r-m .

Аналогично доказывается что p_k — множество старших коэффициентов многочленов из F, степень которых k≤r (к этому множеству добавен 0 кольца) является идеалом, и потому идеалом, конечно порожденным элементами a_k1, a_k2…. Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов f_k1,f_k2… Î F степени k

Докажем, что эти многочлены f₁, …f_i…,f₁₁, …f_1i…,f_r-1,1, …f_r-1,i… Î F порождают идеал F. Пусть f(x)=ax^s+… — какой-нибудь многочлен идеала F, по определению a Î p. Если его степень s≥r то так как a по доказанному является линейной комбинацией a=r₁a₁+r₂a₂+ …r_na_n старших членов многочленов f₁, f₂…f_n Î F степени r , то мы получим, что f(x)-r₁x^s-rf₁-r₂x^s-rf₂- …r_nx^s-rf_n будет многочленом степени, меньшей, чем s и также принадлежащим идеалу F. Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени ≤r.

Для многочлена степени k<r применяется та же процедура, но с использованием многочленов f_k1,f_k2… Î F, старшие коэффициенты которых порождают идеал p_k. Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

Следствия

Последовательно применяя теорему получаем, что кольцо многочленов от n переменных R[x₁,…x_n] нётерово.

Кольцо R[u₁,…u_n], конечно порожденное над нётеровым кольцом R также нётерово (как фактор-кольцо кольца многочленов R[x₁,…x₁]).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М.:Наука, 1976
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра -М.:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М.:Мир, 1968

См. также

• Давид Гильберт

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Викифицировать статью. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.