- Многочлен над конечным полем
-
Многочленом над конечным полем называется формальная сумма вида
Здесь — целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена , а — элементы алгебры над умножение которых задаётся правилами:
Такое определение позволяет умножать многочлены формально, не заботясь о том, что разные степени одного и того же элемента конечного поля могут совпадать.
Содержание
Связанные определения
- Число называется степенью полинома и обозначается как .
- Если , то полином называется нормированным или унитарным. Полином всегда можно нормировать делением его на коэффициент при старшей степени.
- Сумма и произведение полиномов определены обычным образом, а операции с коэффициентами осуществляются в поле .
- Для двух полиномов и таких, что , всегда найдутся полиномы и над полем , что будет выполняться соотношение
- Если степень строго меньше степени , то такое соотношение называется представлением полинома в виде частного и остатка от деления на , причем такое представление единственно. Ясно, что делится без остатка на , что записывается как .
- Полином называется делителем полинома , если .
- Полином является неприводимым над полем , если он не имеет нетривиальных делителей (степени большей 0 и меньшей ).
Корни многочлена
Корнем называется всякий элемент поля, значение многочлена на котором равно нулю. Полином степени m имеет ровно m корней (с учётом кратности), принадлежащих некоторому расширенному полю . Если , где — простое, то . Исходя из свойств конечных полей, любой элемент поля является корнем двучлена . Таким образом, корни многочлена также являются корнями двучлена .
Справедливы теорема Безу и следствия из неё:
Остаток от деления на равен .
Если — корень , то делит .
Если суть корни , то
Также справедлива следующая теорема:Теорема 1. Если — корень , то — тоже корень .
Циклотомический класс
Следствием Теоремы 1 может быть тот факт, что, если — корень полинома над полем , то и являются его корнями.
Определение: циклотомическим классом над полем , порождённым некоторым элементом называется множество всех различных элементов , являющихся -ыми степенями .
Если — примитивный элемент (такой элемент, что и при ) поля , то циклотомический класс над полем будет иметь ровно элементов.
Следует отметить, что любой элемент из циклотомического класса может порождать этот и только этот класс, а, следовательно, и принадлежать только ему.
Примеры циклотомических классов
Пример 1. Пусть , и — примитивный элемент поля , то есть и при . Учитывая также, что , можно получить разложение всех ненулевых элементов поля на три циклотомических класса над полем :
Пример 2. Аналогично можно построить классы на поле над полем , то есть . Пусть — примитивный элемент поля , значит .
Связь с корнями полиномов
Следующая Теорема устанавливает связь между циклотомическими классами и разложением полинома на неприводимые полиномы над полем .
Теорема 2. Пусть циклотомический класс, порожденный элементом и полином имеет в качестве своих корней элементы этого циклотомического класса, то есть
Тогда коэффициенты полинома лежат в поле , а сам полином является неприводимым над этим полем.
Можно установить такое следствие из Теоремы 2. Из свойства конечных полей, говорящего о том, что все ненулевые элементы поля являются корнями многочлена , можно заключить, что многочлен можно разложить на неприводимые над полем многочлены , каждый из которых соответствует своему циклотомичесому классу.См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
Категории:- Абстрактная алгебра
- Теория полей
- Многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.