Механика контактного взаимодействия

Напряжения в области контакта при одновременном нагружении нормальной и касательной силой. Напряжения определены методом фотоупругости

Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.

История

Классическая механика контактных взаимодействий связана прежде всего с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR – теория).

Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перcсон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.

Классические задачи механики контактного взаимодействия

Контакт между шаром и упругим полупространством

Контакт между шаром и упругим полупространством

Твёрдый шар радиуса $R$ вдавливается в упругое полупространство на глубину $d$ (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса $a=\sqrt{Rd}$.

Необходимая для этого сила равна

$F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2}$,

причём

$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}$.

$E_1$ и $E_2$ здесь модули упругости, а $\nu_1$ и $\nu_2$ — коэффициенты Пуассона обоих тел.

Контакт между двумя шарами

При контакте двух шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$ эти уравнения справедливы соответственно для радиуса $R$

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Распределение давления в площади контакта рассчитывается как

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}$

с

$p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}$.

Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для $\nu = 0,33$ при $z\approx 0,49a$ .

Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами $R$

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом $R$ и плоскостью (см.выше).

Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Контакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}$

причём

$p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}$.

Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется

$F=2aE^*d\frac{}{}$.

Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространством

Контакт между конусом и упругим полупространством

При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:

$d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta$.

$\theta$ есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой

$p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}ln\left(\frac{a}{r}-\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right)$ .

Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как

$F_N=\frac{2}{\pi}E\frac{d^2}{\tan \theta}$.

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:

$F=\frac{\pi}{4}E^*Ld$.

Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением

$a=\sqrt{Rd}$ ,

с

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно

$p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}$.

Контакт между шероховатыми поверхностями

Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, то реальная площадь контакта $A$ намного меньше, чем видимая площадь $A_0$. При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе $F$ и определяется следующим уравнением:

$A=\frac{\kappa}{E^*h'}F$

При этом $h'$ — среднеквадратичное значение неровности плоскости и $\kappa \approx2$. Среднее давление в реальной площади контакта

$\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'$

рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости $E^*$, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности $h'$. Если это давление больше твёрдости $\sigma _0$ материала и, таким образом

$\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2$,

то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии. Для $\Psi <\frac{2}{3}$ поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина $\Psi$ была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.

Литература

• K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
• Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
• I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47–57.
• S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413–1422.