Квантовая ёмкость

Квантовая ёмкость — дополнительная электрическая ёмкость между затвором и двумерным электронным газом (ДЭГ), возникающая благодаря низкой по сравнению с металлами плотностью состояний в ДЭГ. Была впервые введёна Serge Luryi в1988 году^[1] для характеристики изменения химического потенциала в инверсионных слоях кремния и ДЭГ в GaAs.

ДЭГ и затвор представляют собой обычный конденсатор с включённой последовательно квантовой ёмкостью.

Теория

Если одна из обкладок конденсатора представляет собой металл с высокой плотностью состояний, а другая, расположенный на расстоянии d, — ДЭГ с много меньшей плотностью состояний, то изменение напряжения δV на этом конденсаторе приводит к изменению электрического поля между обкладками δE, а также к сдвигу химического потенциала δμ, что можно записать в виде:

$\delta V =\delta Ed +\frac{\delta \mu}{e}=\delta Ed+\frac{\partial \mu}{\partial n} \frac{\delta n}{e}.$

Это выражение можно переписать с учётом вариации заряда δρ=eδn и воспользовавшись теоремой Гаусса δE=δρ/ε, где ε=ε_dε₀ произведение диэлектрической постоянной материала диэлектрика и диэлектрической постоянной вакуума, через ёмкость нормированную на площадь обкладок C/A=δρ/δV в упрощённом виде

$\frac{A}{C} =\frac{d}{\varepsilon}+\frac{1}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}$

Первое слагаемое это обратная ёмкость плоского конденсатора, а второе слагаемое связано с понятием квантовой ёмкости, которая пропорциональна плотности состояний

$C_{Q} = e^2\cdot D_{2D}$

где e — элементарный заряд. Если переписать ёмкость в терминах длины экранирования

$\lambda = \frac{\varepsilon}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}$

то выражение примет ещё более прозрачный вид

$\frac{C}{A} =\frac{\varepsilon}{(d+\lambda)},$

поясняющий влияние конечной длины проникновения электрического поля в материал с меньшей плотностью состояний, чем у металла. Фактически расстояние между обкладками увеличивается на длину экранирования.^[2]

Для ДЭГ плотность состояний равна (учтено только спиновое вырождение)

$D_{2D} = \frac{m^*}{\pi \hbar^2} \$

где $m^{*}$ — эффективная масса носителей тока. Так как плотность состояний ДЭГ не зависит от концентрации, то квантовая ёмкость тоже не зависит от концентрации, хотя при учёте электрон-электронных взаимодействий квантовая ёмкость зависит от энергии^[3][4].

Связь со сжимаемостью электронного газа

Основная статья: Сжимаемость электронного газа

Для электронного газа, как и для обычного идеального газа можно ввести понятие сжимаемости K, обратная величина которой определяется как взятое с отрицательным знаком произведение объёма газа V и изменения давления P электронного газа при изменении объёма с сохранением числа частиц N:

$\frac{1}{K}=-V\left(\frac{dP}{dV}\right)_{N}.$

Другое важное соотношение получается из теоремы Зейтца^[5]:

$\frac{1}{K}=n^2\frac{d\mu}{dn}.$

Отсюда следует, что измеряя квантовую ёмкость мы также получаем информацию о сжимаемости электронного газа.

Термодинамическая плотность состояний

Для того чтобы учесть распределение электронов по энергии (распределение Ферми — Дирака f(ε-μ)) из-за конечной температуры T, вводят так называемую термодинамическую плотность состояний определяемую как^[6][7]

$D(\mu)=\int^{\infty}_{-\infty}d\varepsilon N(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}\right)=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{N(\varepsilon)d\varepsilon}{4k_BT \textrm{cosh}^2\left(\frac{\varepsilon-\mu}{2k_BT}\right)},$

где N(ε) — плотность состояний при нулевой температуре, k_B — постоянная Больцмана.

Графен

Для графена, где плотность состояний пропорциональна энергии, квантовая ёмкость зависит от концентрации^[8]:

$C_{Q} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{e^2}{\hbar v_F}\sqrt{n},$

где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, v_F — фермиевская скорость.

Примечания

1. ↑ Serge Luryi (1988). "Quantum capacitance devices". Appl.Phys.Lett. 52(6). Pdf
2. ↑ G. F. Giuliani and G. Vignale Quantum theory of the electron liquid Cambridge university press, 2005.
3. ↑ J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, and K. W. West Negative compressibility of interacting two-dimensional electron and quasiparticle gases Phys. Rev. Lett. 68, 674–677 (1992)
4. ↑ B. Tanatar and D. M. Ceperley Ground state of the two-dimensional electron gas Phys. Rev. B 39, 5005–5016 (1989)
5. ↑ G. D. Mahan Many-particle Physics 3rd edition Kluwer Academic/Plenum Publishers 2000
6. ↑ M. I. Katsnelson Graphene: carbon in two dimensions Cambridge University Press 2012.
7. ↑ D. L. John, L. C. Castro, and D. L. Pulfrey Quantum capacitance in nanoscale device modeling J. Appl. Phys. 96, 5180 (2004).
8. ↑ L. A. Ponomarenko et al. Density of States and Zero Landau Level Probed through Capacitance of Graphene Phys. Rev. Lett. 105, 136801 (2010).