Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование — это любое преобразование фазового пространства системы, сохраняющее его симплектическую структуру.

Канонические преобразования обычно задаются производящей функцией. Пусть $F(q,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\frac{\partial^2 F}{\partial q \, \partial Q} \ne 0$

Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилу

$p = \frac{\partial F}{\partial q}$

$P = - \frac{\partial F}{\partial Q}$

$H' = H + \frac{\partial F}{\partial t}$

где $(q,p)$ — старые координаты и импульсы системы, а $(Q,P)$ — новые координаты и импульсы.

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

$\mathcal{S} = \int \mathbf{p} d\mathbf{q} - H dt$

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ