Асимптотология

Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.

Проверить нейтральность. На странице обсуждения должны быть подробности.

Асимптотология — искусство обращения с прикладными математическими системами в предельных случаях (М.Крускал (M.Kruskal)); наука о синтезе простоты и точности за счёт локализации (Р.Баранцев).

Принцип идеализации

Ключевое понятие современной науки — принцип идеализации, который можно сформулировать следующим образом: выделить существенное в чистом виде и отбросить то несущественное, которым можно пренебречь ^[1]. Любая реальная система или явление состоят из большого (часто бесконечного) количества подсистем или менее значимых явлений. Попытка описать их во всей совокупности заведомо безнадежна, если не уметь «стирать случайные черты». Принцип идеализации был, по-видимому, впервые явно сформулирован Галилеем. Вот как он описал его суть применительно к естественным наукам: «Белое или красное, горькое или сладкое, звучащее или безмолвное, приятно или дурно пахнущее — все это лишь названия для различных воздействий на наши органы чувств. Никогда не стану я от внешних тел требовать чего-либо иного, чем величина, фигура, количество и более или менее быстрые движения для того, чтобы объяснить возникновение ощущений вкуса, запаха и звука; я думаю, что, если бы мы устранили уши, языки, носы, то остались бы только фигуры, числа, движения, но не запахи, вкусы и звуки, которые, по моему мнению, вне живого существа являются не чем иным, как только пустыми именами» ^{[2] (c.130)}. Поясняя применение принципа идеализации к исследованию движения тел, Галилей пишет: «Дабы рассмотреть этот вопрос научно, следует отбросить все указанные трудности (сопротивление воздуха, трение и т. д.) и, сформулировав и доказав теоремы для случая, когда сопротивление отсутствует, применять их с теми ограничениями, какие подсказывает нам опыт» ^{[3] (c.118)}. Складывается удивительная ситуация: «Метод идеализации уводит нас от реальности, но, как ни парадоксально, именно этот шаг позволяет нам приблизиться к реальности в большей степени, чем учет всех имеющихся факторов» ^[3]. Основополагающая роль метода идеализации не всегда осознается, и немалая «заслуга» в этом принадлежит современному образованию. «Мандельштам считал, что вопросы идеализации должны занимать фундаментальное место во всяком преподавании физики — как в школьном, так и в университетском. Уже школьник должен сознавать, что в любой физической теории мы работаем с идеальными моделями реальных вещей и процессов» ^[4].

Метод возмущений

Принцип идеализации далеко не всемогущ. Перечитаем Галилея: «…применять с теми ограничениями, какие подсказывает нам опыт», «отбросить…сопротивление воздуха, трение и т. д.». А если мы все же хотим учесть эти факторы? В этом случае логично применить метод возмущений, описанный П. С. Лапласом (применительно к задачам небесной механики) следующим образом: «Самый простой способ анализа различных возмущений заключается в том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся по эллипсу, элементы которого плавно изменяются, и одновременно представить себе, что настоящая планета колеблется вокруг этой воображаемой линии по очень малой траектории, свойства которой зависят от ее периодических возмущений» ^{[5] (c.141)}. Таким образом, отброшенные факторы учитываются в следующих приближениях. Процесс уточнения можно продолжать, ограничиваясь необходимой в данной задаче точностью ^[6],^[7],^[8].

Малые и большие параметры

Уже в школьном курсе математики появляются «асимптоты» — прямые, бесконечно близко приближающиеся к некоторым кривым, когда независимая переменная x стремится к бесконечности. Иными словами, начиная с некоторых значений x кривые можно заменить прямыми, и такое приближение будет тем точнее, чем больше x. Аналогично асимптотические формулы описывают данное явление тем точнее, чем меньше (или больше) становятся некоторые параметры. При этом метод идеализации даёт решение в предельных случаях, когда эти параметры в точности равны нулю (или бесконечности). Поиск и использование подобных параметров и составляет одну из главных задач науки. «Если бы в Природе не существовало больших или малых параметров, вся наука свелась бы к утомительному перечислению всего на свете» ^[9].

Один из отцов асимптотической математики А.Пуанкаре писал о поиске подходящих малых (больших) параметров: « Учёные искали их в двух крайних областях: в области бесконечно большого и в области бесконечно малого. Их нашел астроном, ибо расстояния между светилами громадны, настолько громадны, что каждое из светил представляется только точкой; настолько громадны, что качественные различия сглаживаются, ибо точка проще, чем тело, которое имеет форму и качество. Напротив, физик искал элементарное явление, мысленно разделяя тело на бесконечно малые кубики, ибо условия задачи, которые испытывают медленные непрерывные изменения, когда мы пере¬ходим от одной точки тела к другой, могут рассматриваться как постоянные в пределах каждого из этих кубиков» ^{[10] (c.290)}.

Соотношение асимптотических и численных методов

Говоря о соотношении асимптотических, численных и экспериментальных методов, Крайтон отмечал ^[11]: «Расчеты или эксперименты без определяющей роли асимптотической информации бесполезны в лучшем случае и опасны в худшем из-за невозможности идентифицировать области резкого (жесткого) изменения процесса и его локализации в пространстве и во времени. Более того, весь накопленный опыт показывает, что асимптотические решения полезны с точки зрения численных результатов далеко за пределами их формальной области применимости и часто могут быть использованы непосредственно».

Асимптотические и численные подходы взаимно дополняют друг друга. В частности, асимптотический анализ особенно эффективен в тех областях значений параметров, где компьютерные алгоритмы встречают серьёзные затруднения. Это позволяет создавать гибридные асимптотико-числовые алгоритмы, в которых в зонах быстрого изменения параметров решение получается асимптотически, а для построения гладких частей решения используются численные алгоритмы.

О роли численных и аналитических (как правило, асимптотических) подходов в механике деформируемого твердого тела хорошо сказано в ^[12]: “Авторы являются решительными противниками подмены фундаментальной дисциплины - теории оболочек - одним из разделов прикладной математики. Эта достойная сожаления тенденция является побочным эффектом интенсивного внедрения универсальных численных методов. На страницы журналов (да и монографий) лавиной хлынули работы с описанием численных экспериментов, реализованных порой с применением стандартных пакетов прикладных программ.

Таблицы на все случаи жизни не составишь. К тому же главное — не число, а понимание существа изучаемой проблемы. Что касается численных методов, то при постановке сложных задач предварительные аналитические решения проблемы могут оказать большую помощь, а иногда являются просто необходимыми для успешной реализации численного алгоритма.

В области механики деформируемого твердого тела первичным является:
• принятие исходных гипотез и допущений, основанное на глубоком понимании работы материала в конструкции,
• оценка погрешности принятых гипотез и допущений,
• формирование системы уравнений, адекватно описывающих работу конструкции.

Позиция авторов — разумное сочетание аналитических и численных методов с пониманием механической стороны рассматриваемой проблемы".

Главный недостаток методов возмущений – локальная применимость полученных результатов. Именно его подчеркивают сторонники численного интегрирования, предлагая последнее в качестве «единственного верного учения» (о том, что численные алгоритмы – не панацея, см.^[13]). Однако методы суммирования и сращивания предельных асимптотик позволяют существенно расширить область применимости асимптотических решений и сделать их эффективным способом получения не только качественной, но и количественной информации об описываемых явлениях и процессах ^[6],^[8].

Простота, точность, локализация

Развитие асимптотической математики привело к пониманию того, что «Асимптотическое описание является не только удобным инструментом математического анализа природы, оно имеет фундаментальное значение» ^[11]. В итоге Крускал предложил говорить о новой науке — асимптотологии ^[14]. Дать определение асимптотологии, очертить её рамки и пределы применимости непросто. Баранцев предложил использовать для описания асимптотологии триаду точность-локальность-простота ^[6],^[15]. Иными словами, антагонистический конфликт «точность-простота» разрешается через «локальность» — простые асимптотические модели верны лишь в некотором узком диапазоне изменения параметров. Локализация рассматриваемой области — имманентное свойство асимптотической математики. Простота и точность связаны своеобразным «соотношением неопределенности», а мерой неопределённости (аналогом постоянной Планка) служит величина области, задаваемая «малым параметром».

Проиллюстрируем эти закономерности на примере. Рассмотрим интегральную показательную функцию
$Ei(y) = \int_{-\infty}^y e^{\zeta} \zeta^{-1}$, $y < 0$.

Интегрируя по частям, получаем следующее асимптотическое разложение
$Ei(y) \sim e^y \sum_{n=1}^{\infty} (n-1)! y^{-n}$, $y$ → $-\infty$.

Положим $f(x) = -e^{-y} Ei(y)$, $y = -x-1$. Вычисляя частные суммы этого ряда, величину $\Delta_N(x)$ и значения $f(x)$ для разных значений $x$, составим таблицу:

  $x$  $f(x)$    $\Delta_1$     $\Delta_2$      $\Delta_3$         $\Delta_4$           $\Delta_5$       $\Delta_6$    $\Delta_7$
 1/3    0,262   0,071   0,040   0,034   0,040   0,060   0,106   0,223
 1/5    0,171   0,029   0,011   0,006   0,004   0,0035  0,0040  0,0043
 1/7    0,127   0,016   0,005   0,002   0,001   0,0006  0,0005  0,0004

Видно, что при фиксированном $x$ с ростом $N$ точность сначала улучшается, а затем становится хуже, как и должно быть в силу расходимости. Эта сходимость вначале проявляется тем сильнее и дольше, чем меньше $x$. Заданная точность при фиксированном x если и достигается, то лишь на некотором конечном интервале $N$. Чем выше требования к точности, тем меньше область $x$, где она достижима. Таким образом, три величины: $\Delta$, $x$, $N$, характеризующие соответственно точность, локальность и простоту асимптотики, связаны попарно соотношениями неопределенности.

Примечания

1. ↑ Андрианов И. От принципа идеализации к асимптотологии. Знание-Сила, 2008, № 11, c. 28-30.
2. ↑ Кузнецов Б. Г. Галилей. М.: Наука, 1964.
3. ↑ ^{1 2} Клайн М. Математика – утрата определённости. М.: Мир, 1984.
4. ↑ Рытов С.М. В лаборатории колебаний // Воспоминания об академике М.А.Леонтовиче. М.: Наука, 1990, с. 35-48.
5. ↑ Лаплас С. Изложение системы мира. Л.: Наука, ЛО, 1982.
6. ↑ ^{1 2 3} Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
7. ↑ Андрианов И. В., Маневич Л. И. Асимптотические методы и физические теории. М.: Знание, 1989
8. ↑ ^{1 2} Андрианов И. В., Маневич Л. И. Асимптотология: идеи, методы, результаты. М.: Аслан, 1994
9. ↑ Trefethen L.N. Maxims about Numerical Mathematics, computers, science, and life // SIAM News, 1998, January-February, p. 4.
10. ↑ Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.
11. ↑ ^{1 2} Crighton D.G. Asymptotics – an indispensible complement to thought, computation and experiment in Applied Mathematical modelling//Seventh Eur. Conf. Math. in Industry (March 2-6,1993, Montecatini Terme). A.Fasano, M.Primicerio (eds.). Stuttgart: B.G.Teubner, 3-19.
12. ↑ Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991.
13. ↑ Финдлин А.Я. Особенности использования компьютерных методов в прикладной математике (о всеобщей компьютеризации и здравом сиысле) // В книге Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. Изд. 4-е. М.: ЛКИ, 2007, с. 350-358.
14. ↑ Kruskal M.D. Asymptotology. Proceedings of Conference on Mathematical Models on Physical Sciences. Englewood Cliffs, HJ: Prentice-Hall, 1963, 17-48.
15. ↑ Баранцев Р. Г. Об асимптотологии // Вестник Ленинградского университета. 1976. № 1. С. 69 — 76.

Литература

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

1. Андрианов И. От принципа идеализации к асимптотологии. Знание-Сила, 2008, № 11, c. 28-30.
2. Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
3. Андрианов И. В., Маневич Л. И. Асимптотические методы и физические теории. М.: Знание, 1989.
4. Андрианов И. В., Маневич Л. И. Асимптотология: идеи, методы, результаты. М.: АСЛАН, 1994.
5. Баранцев Р. Г. Об асимптотологии // Вестник Ленинградского университета. 1976. № 1. С. 69 — 76.
6. Клайн М. Математика — утрата определённости. М.: Мир, 1984.
7. Кузнецов Б. Г. Галилей. М.: Наука, 1964.
8. Лаплас С. Изложение системы мира. Л.: Наука, ЛО, 1982.
9. Маневич Л. И. От теории возмущений к асимптотологии // Соросовский образовательный журнал, 1996, т.2, № 9, с. 113—121.
10. Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991.
11. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.
12. Рытов С. М. В лаборатории колебаний // Воспоминания об академике М. А. Леонтовиче. М.: Наука, 1990, с. 35-48.
13. Финдлин А. Я. Особенности использования компьютерных методов в прикладной математике (о всеобщей компьютеризации и здравом сиысле) // В книге Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. Изд. 4-е. М.: ЛКИ, 2007, с. 350—358.
14. Andrianov I.V., Manevitch L.I. Asymptotology: Ideas, Methods, and Applications. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002.
15. Crighton D.G. Asymptotics — an indispensible complement to thought, computation and experiment in Applied Mathematical modelling//Seventh Eur. Conf. Math. in Industry (March 2-6,1993, Montecatini Terme). A.Fasano, M.Primicerio (eds.). Stuttgart: B.G.Teubner, 3-19.
16. Friedrichs K.O. Asymptotic phenomena in mathematical physics // Bull. Amer. Math. Soc., 1955, 61, 485—504 (Фридрихс К. О. Асимптотические явления в математической физике // Математика (сб. переводов иностр. статей), 1952, № 2, с.79-84).
17. Kruskal M.D. Asymptotology. Proceedings of Conference on Mathematical Models on Physical Sciences. Englewood Cliffs, HJ: Prentice-Hall, 1963, 17-48.
18. Segel L.A. The importance of asymptotic analysis in Applied Mathematics// Amer. Math. Monthly, 1966, 73, 7-14.
19. Trefethen L.N. Maxims about Numerical Mathematics, computers, science, and life // SIAM News, 1998, January-February, p. 4.

См. также

• Быстро-медленная система
• Краевой эффект
• «О» большое и «о» маленькое
• Скин эффект
• Теория возмущений

Ссылки

• Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотические методы и физические теории. М.: Знание, 1989.
• Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотология: идеи, методы, результаты. М.: Аслан, 1994.
• Kruskal M.D. Asymptotology. Proceedings of Conference on Mathematical Models on Physical Sciences. Englewood Cliffs, HJ: Prentice-Hall, 1963, 17-48.
• Dewar R.L. Asymptotology – a cautionary tale // ANZIAM J. 44(2002), 33–40.
• Маневич Л.И. От теории возмущений к асимптотологии // Соросовский образовательный журнал, 1996, т.2, № 9, с. 113-121.
• Асимптотические методы на сайте «Механика и прикладная математика»

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.