- Альтернатива Фредгольма
-
Альтернати́ва Фредго́льма
Содержание
Случай конечномерного пространства
Либо уравнение имеет решение при любой правой части , либо сопряжённое к нему уравнение имеет нетривиальное решение
Доказательство
Пусть . Возможны два случая: либо , либо . Условие равносильно условию , которое означает, что уравнение имеет решение при любом . При этом так как , то и уравнение не имеет ненулевого решения. Условие равносильно условию , которое означает существование ненулевого вектора , то есть ненулевого решения . При этом и уравнение имеет решение не для любого .
Доказательство другим способом.
- Пусть система (1), то есть A ⋅ X = B , имеет решение при любом B. В этом случае rgA = m, так как иначе при некотором B rgA оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как rgAT= rgA, то в этих условиях rgAT = m, то есть равен числу неизвестных в системе(2) и эта система имеет только тривиальное решение.
- Пусть теперь система A⋅X = B при некотором B несовместна. Следовательно rgA<m , значит и rgAT<m, то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.
Замечание
Альтернатива Фредгольма для линейного оператора , действующего в одном пространстве , означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом , либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решение.
Случай бесконечномерного Гильбертового пространства
Литература
- Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007. 400 с.
Категории:- Линейная алгебра
- Теория Фредгольма
Wikimedia Foundation. 2010.