АТС теорема

Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

АТС теорема — это теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

В некоторых областях математики и математической физики исследуются суммы вида

$S = \sum_{a< k\le b} \varphi(k)e^{2\pi i f(k)} ~~~ (1).$

Здесь $\varphi(x)$ и $f(x)$ — вещественные функции вещественного аргумента, $i^2= -1.$

Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с распределением целых точек в различных областях на плоскости и в пространстве, при изучении рядов Фурье, при решении таких дифференциальных уравнений как волновое уравнение, уравнение теплопроводности и т. д.

Вводные замечания

Назовём длиной суммы $S$ число $b-a$ (для целых $a$ и $b$ это просто число слагаемых в $S$).

Будем использовать следующие обозначения:

• При $B > 0, B \to +\infty$ или $B \to 0$ запись $1 \ll \frac{A}{B} \ll 1$ означает, что существуют константы $C_1 > 0$ и $C_2 > 0,$, такие что

  $C_1 \leq\frac{|A|}{B} \leq C_2$.

• Для вещественного $\alpha$ запись $||\alpha||$ значит, что

  $||\alpha|| = \min(\{\alpha\},1- \{\alpha\})$,

  где $\{\alpha\}$ — дробная часть $\alpha.$

Сформулируем основную теорему о замене тригонометрической (иногда её называют также экспоненциальной) суммы более короткой.

Теорема АТС

Пусть вещественные функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ удовлетворяют на отрезке $[a,b]$ следующим условиям:

1. $f''(x)$ и $\varphi''(x)$ являются непрерывными;
2. существуют числа $H$, $U$ и $V$ такие, что

   $H > 0,~~ 1 \ll U \ll V,~~ 0 < b-a \leq V$

   $\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ f'''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ f''''(x) \ll \frac{1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{array}$

Тогда, определяя числа $x_{\mu}$ из уравнения

$f'(x_{\mu}) = \mu,$

имеем

$\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi i f(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)}C(\mu)Z(\mu) + R ,$

где

$R = O \left(\frac{HU}{b-a} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);$

$T_{j} = \left\{ \begin{array}{rc} 0 \ ,& \ {\textit if} \ \ f'(j) \ {\textit is \ an \ integer} ;\\ \min\left(\frac{1}{||f'(j)||} , \sqrt{U}\right) \ ,& \ {\textit if} \ \ ||f'(j)|| \ne 0; \\ \end{array} \right.$

$j = a,b;$

$C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end{array} \right.$

$Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu})}} e^{2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .$

Лемма Ван дер Корпута

Самым простым вариантом сформулированной теоремы является утверждение, называемое в литературе леммой Ван дер Корпута.

Пусть $f(x)$ — вещественная дифференцируемая функция на интервале $a< x \le b$, кроме того, внутри этого интервала её производная $f'(x)$ является монотонной и знакопостоянной функцией, и при $\delta = const$, $0 < \delta < 1$ удовлетворяет неравенству

$|f'(x)| \leq \delta .$

Тогда

$\sum_{a<k\le b} e^{2\pi i f(k)} = \int_a^be^{2\pi i f(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\delta}{1-\delta}\right),$

где $|\theta| \le 1.$

Если параметры $a$ и $b$ являются целыми числами, то последнее выражение можно заменить таким:

$\sum_{a<k\le b} e^{2\pi i f(k)} = \int_a^be^{2\pi i f(x)}dx + \frac12e^{2\pi i f(b)} - \frac12e^{2\pi i f(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta},$

где $|\theta| \le 1$.

Применение

О применениях АТС в задачах физики см. ^[1], ^[2], см. также ^[3], ^[4].

История

Проблема приближения тригонометрического ряда какой-либо подходящей функцией рассматривалась ещё Эйлером и Пуассоном.

При определённых условиях на $\varphi(x)$ и $f(x)$ сумму $S$ можно заменить с хорошей точностью другой суммой $S_1,$

$S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} ,$

длина которой $\beta-\alpha$ много меньше, чем $b-a.$ Первые соотношения вида

$S = S_1 + R$

где $R$ — остаточный член, с конкретными функциями $\varphi(x)$ и $f(x),$ были получены Г. Харди и Дж. Литтлвудом^[5], ^[6], ^[7] при выводе функционального уравнения для дзета-функции Римана $\zeta(s)$ и И. Виноградовым ^[8], при рассмотрении количеств целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема была доказана Дж. Ван дер Корпутом ^[9], ^[10] (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута можно прочитать в ^[11]).

В каждой из вышеупомянутых работ, на функции $\varphi(x)$ и $f(x)$ накладывались некоторые ограничения. С ограничениями, удобными для приложений, теорема была доказана А.А. Карацубой в ^[12] (см. также ^[13], ^[14]).

Примечания

1. ↑ E. A. Karatsuba Approximation of sums of oscillating summands in certain physical problems, — JMP 45:11, pp. 4310—4321 (2004).
2. ↑ E. A. Karatsuba On an approach to the study of the Jaynes-Cummings sum in quantum optics, — Numerical Algorithms, Vol. 45, No.1-4 , pp. 127—137 (2007).
3. ↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Best chirplet chain: near-optimal detection of gravitational wave chirps, — Phys. Rev. D 73:4, 042003, pp. 1—23 (2006).
4. ↑ M. Fleischhauer, W. P. Schleich Revivals made simple: Poisson summation formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model, — Phys. Rev. A 47:3, pp. 4258—4269 (1993).
5. ↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood The trigonometrical series associated with the elliptic θ-functions, — Acta Math. 37, pp. 193—239 (1914).
6. ↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood Contributions to the theory of Riemann Zeta-Function and the theory of the distribution of primes, — Acta Math. 41, pp. 119—196 (1918).
7. ↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, — Math. Z., 10, pp. 283—317 (1921).
8. ↑ И. М. Виноградов О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя, — Сообщ. Харьк. Матем. О-ва, т. 16, № 1/2 , с.10—38 (1918).
9. ↑ J. G. Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, — Math. Ann. 84, pp. 53—79 (1921).
10. ↑ J. G. Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, — Math. Ann., 87, pp. 39—65 (1922).
11. ↑ H. L. Montgomery Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis, — Am. Math. Soc., 1994.
12. ↑ A. A. Karatsuba Approximation of exponential sums by shorter ones, — Proc. Indian. Acad. Sci. (Math. Sci.) 97: 1—3, pp. 167—178 (1987).
13. ↑ С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана, — М.: Физматлит, 1994.
14. ↑ А. А. Карацуба, М. А. Королёв Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой, — Известия РАН. Серия математики, т. 71, № 2, с. 123—150 (2007).