Задача о вершинном покрытии

Задача о вершинном покрытии — NP-полная задача информатики в области теории графов. Часто используется в теории сложности для доказательства NP-полноты более сложных задач.

Определение

Вершинное покрытие для неориентированного графа $G = (V, E)$ это множество его вершин $S$, такое что, у каждого ребра графа хотя бы один из концов входит в S.

Размером (size) вершинного покрытия называется число входящих в него вершин.

Пример: Граф, изображённый справа имеет вершинное покрытие $\{1,3,5,6\}$ размера 4. Однако оно не является наименьшим вершинным покрытием, поскольку существуют вершинные покрытия меньшего размера, такие как $\{2,4,5\}$ и $\{1,2,4\}$.

Задача о вершинном покрытии требует указать минимально возможный размер $k$ вершинного покрытия для заданного графа.

На входе: Граф $G$.

Результат: $k$ - размер наименьшего вершинного покрытия $S$ графа $G$.

Также вопрос можно ставить, как эквивалентную задачу о разрешении:

На входе: Граф $G$ и положительное целое число $k$.

Вопрос: Существует ли вершинное покрытие $S$ для $G$ размера $k$?

Задача о вершинном покрытии сходна с задачей о независимом наборе. Множество вершин $S$ является вершинным покрытием тогда и только тогда, когда его дополнение $\bar S = V \setminus S$ является независимым набором.

Это следует из того, что граф с $n$ вершинами имеет вершинное покрытие размера $k$ тогда и только тогда, когда данный граф имеет незавимимый набор размера $n-k$. В этом смысле обе проблемы равнозначны.

NP-полнота

Поскольку задача о вершинном покрытии является NP-полной, то, к сожалению, неизвестны алгоритмы для её решения за полиномиальное время. Однако существуют алгоритмы, дающие «приближённое» решение этой задачи за полиномиальное время — можно найти вершинное покрытие, в котором число вершин не более чем вдвое превосходит минимально возможное.

Ссылки

• A compendium of NP optimization problems
• Challenging Benchmarks for Maximum Clique, Maximum Independent Set, Minimum Vertex Cover and Vertex Coloring

Литература

• Томас Х. Кормен и др. Глава 36. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 1-е изд. — М.: Московского центра непрерывного математического образования, 2001. — С. 866.