Экситон Ванье — Мотта

Экситон Ванье — Мотта

Экситон Ванье — Мотта — экситон, радиус которого значительно превышает характерный период решётки кристалла (в отличие от экситонов Френкеля).

Экситоны Ванье — Мотта существуют в полупроводниках за счёт высокой диэлектрической проницаемости последних. Высокая диэлектрическая проницаемость приводит к ослаблению электростатического притяжения между электроном и дыркой, что и приводит к большому радиусу экситона.

О происхождении термина

Само понятие экситон было предложено Френкелем в 1931 году. Френкель высказал и обосновал идею существования таких квазичастиц. Представление об экситоне большого радиуса, как об одном из предельных случаев экситона вообще, базируется на теоретической работе Ванье, но окончательно сформулировано в работах Мотта. Поэтому такая квазичастица получила название экситона Ванье — Мотта.

Энергетический спектр экситона

Трёхмерный случай

Для расчёта энергетического спектра экситона Ванье — Мотта воспользуемся простейшей моделью. Будем считать массы электрона и дырки изотропными. Также считаем, что расстояние между электроном и дыркой велико, в этом случае можно пользоваться методом эффективной массы. Тогда уравнение Шрёдингера для такой системы будет иметь вид:

$\left( \frac{\hat{p}^2_e}{2m_e}+\frac{\hat{p}^2_h}{2m_h}+\frac{e^2}{{\varepsilon}r} \right) \Psi = E\Psi$

Замена переменных, разделяющих поступательное движение центра масс и вращательное движение частиц вокруг центра масс приводит уравнение к виду

$\left( \frac{\hat{p}^2_{ex}}{2\mu}+\frac{e^2}{{\varepsilon}r} \right) \Phi(r) = \left( E-\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{M} \right) \Phi(r)$

Данное уравнение аналогично уравнению Шрёдингера для атома водорода. Отсюда следует, что дисперсионная зависимость энергии экситона имеет вид

$E_n(k_{ex})=-\frac{{\mu}e^2}{2\hbar^2\varepsilon^2n^2}+\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{2M}=E_g-\frac{R_{ex}}{n^2}+\frac{\hbar^2k^2_{ex}}{2M}$,

где M = m_e + m_h, $\mu = \left( \tfrac{1}{m_e} + \tfrac{1}{m_h} \right)^{-1}$ — приведённая масса, r = r_e − r_h.

Величина $R_{ex}= \tfrac{me^4}{2\hbar^2\varepsilon^2}$ по аналогии с постоянной Ридберга для атома водорода называется экситонным Ридбергом.

Таким образом, для покоящегося экситона, мы получаем набор дискретных водородных уровней, отвечающих энергиям возбуждения, меньшим E_g (ширина запрещённой зоны). Для энергий $E > E_g + \tfrac{\hbar^2 k^2_{ex}}{2M}$ мы получаем решения, принадлежащие непрерывному спектру, что означает независимое движение электрона и дырки.

Двумерный случай

Влияние экранирования

При больших концентрациях носителей заряда в полупроводнике существенным становится экранирование кулоновского взаимодействия и может происходить разрушение экситонов Ванье — Мотта. При наличии свободных носителей потенциал кулоновского взаимодействия имеет вид

$V(r)={e^2 \over \varepsilon r} e^{-r/r_D}$,

где $r_D=\mathcal{E}kT/4\pi e^2 N$ — дебаевский радиус экранирования. Здесь N — концентрация свободных носителей заряда.

Если радиус первого экситонного состояния с n = 1 $a_{ex}= \tfrac{\hbar\varepsilon}{\mu e^2}$ (боровский радиус экситона Ванье — Мотта), то условие исчезновения экситонной серии вследствие экранировки: a_ex > r_D. Для экситона Ванье — Мотта в кристаллах Ge это условие выполняется при концентрации доноров ~10¹⁷ см^-3 и Т=77 К. Таким образом, для наблюдения слабосвязанных экситонов в полупроводниках необходимы низкие температуры и чистые кристаллы.

Проявления экситонного спектра

Спектр поглощения вблизи края запрещённой зоны в прямозонном полупроводнике с участием экситонов (сплошные линии) и без учёта экситонных эффектов (штриховая линия).

Экситоны Ванье — Мотта отчётливо проявляются в спектрах поглощения полупроводников в виде узких линий, сдвинутых на величину E_n ниже края оптического поглощения. Водородоподобный спектр экситонов Ванье — Мотта впервые наблюдался в спектре поглощения Cu₂O в 1952 году E. Ф. Гроссом и H. А. Карыевым и независимо — M. Хаяси (M. Hayasi) и К. Кацуки (К. Katsuki), но экситонная интерпретация его в работе японских авторов отсутствовала. Экситоны проявляются также в спектрах люминесценции, в фотопроводимости, в эффекте Штарка и эффекте Зеемана.

Литература

• Гросс Е. Ф. Экситон и его движение в кристаллической решетке, — «Успехи физических наук», 1962, т. 76, в. 3;
• Нокс Р. Теория экситонов, пер. с англ., — М., 1966;
• Агранович В. М. Теория экситонов. — М., 1968;
• Давыдов А. С. Теория молекулярных экситонов. — М., 1968;
• Экситоны в полупроводниках, [Сб. статей], — М., 1971;
• Осипьян Ю. А. Физика твердого тела выходит на передовые позиции, — «Природа», 1975, № 10.