- Оператор Гильберта — Шмидта
-
Оператор Гильберта — Шмидта
Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор A на гильбертовом пространстве H с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т.е. для которого существует такой ортонормированный базис в H, что
Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.
Скалярное произведение Гильберта — Шмидта
Пусть A и B — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как
где обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:
Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.
Свойства
Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторониий *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на H. Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на H, множество тогда и только тогда, когда H конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств
где H * — пространство, сопряженное к H.
Wikimedia Foundation. 2010.