Французская железнодорожная метрика

Французская железнодорожная метрика является необычным примером метрики.

Название этой метрики произошло из-за очень централизованно проложенной (особенно раньше) железнодорожной сети Франции, в которой чуть ли не все пути сходились в Париже.

Последствия этого были таковы, что, например, чтобы добраться по железной дороге из Страсбурга в Лион, нужно сделать крюк в 400 км через Париж — приходилось мириться с тем, что нет прямого сообщения.

Это побудило одного неизвестного математика определить следующую метрику: если $X$ есть некоторое множество точек плоскости (города Франции с железнодорожным сообщением через Париж) и $p$ — фиксированная выбранная точка (Париж), то можно определить на $X$ метрику $\rho\colon X\times X\to\mathbb{R}$ следующим образом:

$\rho(x,y)=\left.\begin{cases}\|x-y\|, \quad x - p = \lambda (y - p) \\\|x-p\|+\|y-p\|, \quad x - p\neq\lambda (y-p)\end{cases} \right.,\quad x,y\in X, \lambda\in\R$

Здесь $\rho(x,y)$ следует понимать как расстояние по железнодорожному пути от города $x$ до города $y$.

Эта конструкция допускает элементарное обобщение на любое нормированное пространство.

Свойства

В невырожденном случае, то есть когда существуют неколлинеарные векторы, французская железнодорожная метрика — простейший пример метрики, которая не порождается нормой.

Действительно, возьмём два неколлинеарных вектора $a$ и $b$, для которых $\left|a\right| \leqslant \left|b\right|$. Тогда векторы $a+b$ и $b$ также неколлинеарны, и выполняется $\rho(p+a, \, p) \leqslant \rho(p, \, p+b) < \rho(p+a+b, \, p+b)$.

Для метрики $d$, порожденной нормой, это неравенство нарушается:

$d(p+a, p)=|p+a-p|=|a| \le d(p, p+b)=|p-p-b|=|-b|=|b| < d(p+a+b,p+b)=|p+a+b-p-b|=|a|$

Следовательно, не существует нормы $\| \cdot \|$, порождающей французскую железнодорожную метрику в том смысле, что $\rho(x, \, y) = \|x-y\|$

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 15 мая 2011.