- Телеграфное уравнение
-
Телеграфные уравнения — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока в линии электропередачи по времени и расстоянию. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, в 1880-х разработавшим модель линии электропередачи, описанную в этой статье. Теория Хевисайда применима к линиям электропередачи всех частот, включая высокочастотные линии (такие, как телеграфные и радиочастотные проводники), линии со звуковыми частотами (например, телефонные линии), низкочастотные линии (например, силовые линии) и постоянный ток.
Содержание
Уравнения
Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С точки зрения практики, предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи двухполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии:
- Удельное сопротивление проводников представлено в виде резистора (выражается в Омах на единицу длины).
- Удельная индуктивность (возникает из-за магнитного поля вокруг проводников, самоиндуктивности и т. д.) представлена в виде катушки (генри на единицу длины).
- Емкость между двумя проводниками представлена в виде конденсатора (фарад на единицу длины).
- Проводимость диэлектрического материала, разделяющего два проводника (изоляции) представлена в виде резистора между проводом под напряжением и нулевым проводом (сименс на единицу длины). В модели этот резистор имеет сопротивление Ом.
Для ясности повторим, что модель основана на бесконечной цепи элементов, показанных на картинке, и номиналы ее частей указаны на единицу длины. Также можно использовать , , и , чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.
Телеграфные уравнения выведены в той же форме в следующих источниках:: [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]
Передача без потерь
Когда элементы R и G малы, их значением можно пренебречь, линия электропередач при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов L и C, мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения U вдоль линии, а другая — распределение тока I, обе функции зависят от координаты x и времени t.
Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:
В гармоническом случае (считаем, что волна синусоидальная , уравнения упрощаются до
- где — частота стационарной волны.
Если линяя является бесконечно длинной, или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью .
(Заметим, что такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду.) Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света.
Линии без потерь и линии без искажений обсуждаются в [8] и [9]
Линия с потерями
Когда элементами R и G нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид
Дифференцируя первое уравнение по x и второе по t, после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:
Заметим, что эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над U и I и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния. Если потери линии малы (малые R и G = 0), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как e-αx, где α = R/2Z0
Направление распространения сигнала
Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая R=0 и G=0), решение может быть представлено в виде:
где:
- называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,
- ω — угловая частота (в радианах в секунду),
- и могут быть любыми функциями, и
- скорость распространения волны (или фазовая скорость).
f1 представляет волну, идущую в положительном направлении оси х (слева направо) f2 представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке х линии является суммой напряжений, вызванных обоими волнами.
Так как зависимость между током I и напряжением U описывается телеграфными уравнениями, можно записать
где — характеристический импеданс линии электропередачи, который для линии без потерь можно найти как
Ссылки
- ↑ John D. Kraus Electromagnetics. — Third. — New York, NY: McGraw-Hill, 1984. — ISBN 0070354235, pp. 380—419
- ↑ Wiliam H. Hayt Engineering Electromagnetics. — Fifth. — New York, NY: McGraw-Hill, 1989. — ISBN 0070274061, pp. 382—392
- ↑ Stanley V. Marshall Electromagnetic Concepts & Applications. — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — ISBN 0132490048, pp. 359—378
- ↑ Matthew N. O. Sadiku Elements of Electromagnetics. — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. — ISBN 993013846, pp. 497—505
- ↑ Rodger F. Harrington Time-Harmonic Electromagnetic Fields. — First. — New York, NY: McGraw-Hill, 1961. — ISBN 0070267456, pp. 61-65
- ↑ John J. Karakash Transmission Lines and Filter Networks. — First. — New York, NY: Macmillan, 1950., pp. 5-14
- ↑ Georges Metzger Transmission Lines with Pulse Excitation. — First. — New York, NY: Academic Press, 1969., pp. 1-10
- ↑ Matthew N. O. Sadiku Elements of Electromagnetics. — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. — ISBN 993013846, pp. 501—503
- ↑ Stanley V. Marshall Electromagnetic Concepts & Applications. — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — ISBN 0132490048, pp. 369—372
См. также
Категория:- Дифференциальные уравнения в частных производных
Wikimedia Foundation. 2010.