- Формула Кирхгофа
-
Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.
Содержание
Полная формулировка задачи и ответа
Рассмотрим уравнение
- , где функции и определены на , а — оператор Лапласа.
Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью в моменты времени .
Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени :
Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:
где поверхностные интегралы берутся по сфере .
Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.
Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.
Физические следствия
Пусть в начальный момент времени на некотором компакте M есть локальное возмущение ( и/или ). Если мы находимся в некоторой точке , то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время .
Вне отрезка времени , где , функция u(x 0, t) равна нулю.
Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в , уже не будет компактным в , а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).[1]
Формула Пуассона-Парсеваля
Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)
- (функция соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
задаётся формулой:
.
Формула Д'Аламбера
Решение одномерного волнового уравнения
- (функция соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
имеет вид[2]
При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области . Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: , то есть оно определяется двумя семействами характеристик: . Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д’Аламбера не работает.
Применение формул
В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения с начальными условиями и искать решение в виде суммы трех функций: , которые удовлетворяют следующим условиям:
Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть . Тогда, сделав замену , уравнение для задачи «С» примет вид:
Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:
В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области .
Примечания
- ↑ КИРХГОФА ФОРМУЛА // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988—1998.
- ↑ Формула Д’Аламбера в Физической энциклопедии
Литература
- Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. — М.: МФТИ, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6
Ссылки
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Физические законы и уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.