- Интегральный логарифм
-
Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом
Для устранения сингулярности при иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:
Это две функции связаны соотношением:
Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.
Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:
Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке (число Рамануджана — Солднера).
Разложение в ряд
Из тождества, связывающего и следует ряд:
где — постоянная Эйлера — Маскерони.
Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:
Интегральный логарифм и распределение простых чисел
Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой гораздо лучшее приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем :
Для не слишком больших , однако доказано, что при некотором достаточно большом неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена оценка сверху .
Литература
- Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.
Категории:- Специальные функции
- Аналитическая теория чисел
- Логарифмы
Wikimedia Foundation. 2010.