- Гравитационная задача N тел
-
Гравитацио́нная зада́ча N тел является классической проблемой небесной механики и гравитационной динамики Ньютона.
Она формулируется следующим образом.
В пустоте находится N материальных точек, массы которых известны {mi}. Пусть попарное взаимодействие точек подчинено закону тяготения Ньютона, и пусть силы гравитации аддитивны. Пусть известны начальные на момент времени t=0 положения и скорости каждой точки ri|t =0 = ri0, vi|t =0 = vi0. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.
Содержание
Математическая формулировка гравитационной задачи N тел
Эволюция системы N гравитирующих тел (материальных точек) описывается следующей системой уравнений:
где — масса, радиус-вектор и скорость i-го тела соответственно (i изменяется от 1 до N), G — гравитационная постоянная. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.
Аналитическое решение
- Случай уединённой точки N=1 не является предметом рассмотрения гравитационной динамики. Поведение такой точки описывается первым законом Ньютона. Гравитационное взаимодействие — это, как минимум, парный акт.
- Решением задачи двух тел N=2 является барицентрическая системная орбита (не путать с полевой центральной орбитой Кеплера). В полном соответствии с исходной постановкой задачи, решение задачи двух тел совершенно нечувствительно к нумерации точек и соотношению их масс. Полевая центральная орбита Кеплера возникает предельным переходом m1/m2→0. При этом теряется равноправие точек: m2 принимается абсолютно неподвижным тяготеющим центром, а первая точка «теряет» массу, — параметр m1 выпадает из динамических уравнений. В математическом смысле возникающая система дегенеративна, так как количество уравнений и параметров уменьшается в два раза. Поэтому обратная асимптотика становится невозможной: из законов Кеплера не следует закон тяготения Ньютона. (Вспомним, массы вообще не упоминаются в законах Кеплера!)
- Для задачи трёх тел в 1912 Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени, с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно[1]. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно[2]. Также для задачи трёх тел Генрихом Брунсом и Анри Пуанкаре было показано, что её общее решение нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей[2]. Кроме того, известно только 5 точных решений задачи трёх тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.
- На данный момент, в общем виде задача N тел для N>3 может быть решена только численно. Причём для N=3 ряды Зундмана даже при современном уровне компьютеров использовать практически невозможно.
Интегралы движения
Несмотря на кажущуюся простоту формул, аналитического решения данной задачи в общем виде для N>3 не существует. Как показал Генрих Брунс, задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических интегралов движения, которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел[3]. Свои обобщения этой теоремы предложили Пенлеве и Пуанкаре. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.
Приведем для справки комментарий В. М. Алексеева (1971 г.) к соответствующему пассажу в Небесной механике Пуанкаре[4]:
Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит Зигелю[5]. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы Колмогорова[6]. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл[7].
Численные методы
С появлением компьютерной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём численного решения системы уравнений движения. Для этого используются чаще всего следующие численные методы:
- Метод Рунге — Кутты (обычно — четвёртого порядка, но часто используются и более высокие порядки).
- …
Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические — при тесных сближениях тел необходимо уменьшать шаг интегрирования, а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы растёт приблизительно как , что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.
Для решения этой проблемы применяют следующие алгоритмы (или их комбинации):
- Схема Ахмада-Коэна — предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части — иррегулярную (от близких тел — «соседей») и регулярную (от более далёких тел).
Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.
- «Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом[8].
См. также
Примечания
- ↑ К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.
- ↑ 1 2 А. П. Маркеев, «Задача трёх тел и её точные решения», Соросовский образовательный журнал, № 9, 1999. Копия статьи в Архиве Интернета
- ↑ Bruns H. Uеber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25-96. См. также: Уитекер. Аналитическая динамика.
- ↑ См. также В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, 1995.
- ↑ Русск. перев.: Математика, 5, вып. 2, 1961, 129—155
- ↑ Колмогоров А. Н. //ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530; Арнольд В. И. //УМН, 1963, 18 , № 5—6
- ↑ Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.
- ↑ Software Distribution
Ссылки
Орбиты ТипыОсновные Box-орбита • Орбита захвата • Эллиптическая орбита / Высокая эллиптическая орбита • Орбита ухода • Орбита захоронения • Гиперболическая траектория • Наклонная орбита / Ненаклонная орбита • Оскулирующая орбита • Параболическая траектория • Опорная орбита (в т.ч. низкая) • Синхронная орбита • (Полусинхронная • Субсинхронная) • Стационарная орбита Геоцентрические Геосинхронная орбита • Геостационарная орбита • Солнечно-синхронная орбита • Низкая околоземная орбита • Средняя околоземная орбита • Высокая околоземная орбита • Молния-орбита • Околоэкваториальная орбита • Орбита Луны • Полярная орбита • Тундра-орбита • TLE Вокруг других
небесных тел и точекАреосинхронная орбита • Ареостационарная орбита • Гало-орбита • Орбита Лиссажу • Окололунная орбита • Гелиоцентрическая орбита • Солнечно-синхронная орбита ПараметрыКлассические Наклонение · Долгота восходящего узла · Эксцентриситет · Аргумент перицентра · Большая полуось · Средняя аномалия на эпоху Другие Истинная аномалия · Малая полуось · Эксцентрическая аномалия · Средняя долгота · Истинная долгота · Период обращения Орбитальные манёврыБиэллиптическая переходная орбита · Запас характеристической скорости · Геопереходная орбита · Гравитационный манёвр · Гравитационный поворот · Орбита Гомана — Ветчинкина · Низкозатратная переходная траектория · Эффект Оберта · Изменение наклонения орбиты · Фазирование орбиты · Стыковка · Transposition, docking, and extraction · Манёвр уводаДругие темы астродинамикиСистема небесных координат · Экваториальная система координат · Эпоха · Эфемерида · Законы Кеплера · Гравитационная задача N тел · Точки Лагранжа · Пертурбация · Межпланетная транспортная сеть
Уравнение орбиты · Апоцентр и перицентр · Орбитальная скорость · Орбитальные векторы состояния · Специальная орбитальная энергия · Специальный относительный вращательный момент · Прямое движение · Ретроградное движение · Трасса орбитыКатегория:- Небесная механика
Wikimedia Foundation. 2010.