Приведённая масса

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения^[1].

Обычно приведенная масса $\mu \,$ определяется из равенства $T = 1/2 \,\mu v^2 \$, где $T \,$ -- кинетическая энергия системы, а $v \,$ — скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции $\mu_{ij} \,$ в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется $s \,$ обобщёнными координатами $r_i : \,$

$2T = \sum^s_{i, \, j = 1} \mu_{ij}\, \dot{r_i} \dot{r_j} \, ,$

где точка означает дифференцирование по времени, а $\mu_{ij} \$ есть функции обобщённых координат.

Задача двух тел

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой $m_{1} \$ и другое с массой $m_{2} \$. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

$\mu = {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ ,$

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Приведённая масса всегда меньше каждой из масс $m_1 \$ или $m_2 \$ или равна одной из них, если эта масса равна нулю. Пусть масса $m_2 \$ значительно меньше массы $m_1 \ \,$ ($m_2 \ll m_1$), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет

$\mu =\frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 (1- \frac{m_2}{m_1})\approx m_\mathrm 2\ .$

Движение тела с приведенной массой

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

$F_{12} = m_1 a_1. \!\,$

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

$F_{21} = m_2 a_2. \!\,$

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

$F_{12} = - F_{21}.\!\,$

Таким образом, имеем

$m_1 a_1 = - m_2 a_2 \!\,$

или

$a_2=-{m_1 \over m_2} a_1. \!\,$

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

$a= a_1-a_2 = \left({1+{m_1 \over m_2}}\right) a_1 = {{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}} m_1 a_1 = {F_{12} \over \mu}.$

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе $\mu \,$.

Применение

Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид

$\ {1\over x_\text{eq}} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}\ ,$

где $x_i \$ — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи), $x_{eq} \$ — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.

Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку^[2].

Примечания

1. ↑ «Физическая энциклопедия». В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7
2. ↑ А.И. Русаков Корректный расчет приведённых масс при ударе. Вестник РГУПС, №2, 2003. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 18 января 2010.

Ссылки

• Приведённая масса на HyperPhysics

См. также

• Задача двух тел