Тождества Ньютона

В математике тождества Ньютона, также известные как формулы Ньютона-Жирара, задают соотношения между двумя типами симметрических многочленов, а именно между симметричным многочленом суммы степенного ряда и элементарным симметриченым многочленом. Для монического многочлена P они дают возможность найти сумму k-тых степеней всех корней P (с учётом кратности) выражения через коэффициенты P, без фактического нахождения этих корней. Эти тождества были открыты Исааком Ньютоном около 1666 года, и возможно, в ранних работах (1629) Альберта Жирара. Они находят применение во многих областях математики, в том числе теории Галуа, теории инвариантов, теории групп, комбинаторике, а также в других науках, в том числе в общей теории относительности.

Математические формулировки

Формулирование с помощью симметрических полиномов

Пусть x₁,…, x_n будут переменными, для k ≥ 1 обозначим сумму k-тых степеней этого ряда как p_k(x₁,…,x_n) :

$p_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum\nolimits_{i=1}^nx_i^k = x_1^k+\cdots+x_n^k,$

и для k ≥ 0 обозначим e_k(x₁,…,x_n) элементарный симметрический многочлен, который представляет собой сумму всех возможных разных произведений k разных переменных, в частности

$\begin{align} e_0(x_1,\ldots,x_n) &= 1,\\ e_1(x_1,\ldots,x_n) &= x_1+x_2+\cdots+x_n,\\ e_2(x_1,\ldots,x_n) &= \textstyle\sum_{1 \leq i<j\leq n}x_ix_j,\\ e_n(x_1,\ldots,x_n) &= x_1x_2\cdots x_n,\\ e_k(x_1,\ldots,x_n) &= 0, \quad\text{for}\ k>n.\\ \end{align}$

Тогда тождества Ньютона могут быть записаны следующим образом

$ke_k(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} e_{k-i} (x_1,\ldots,x_n) p_i(x_1,\ldots,x_n),$

для всех k ≥ 1. Для нескольких первых значений k получим:

$\begin{align} e_1(x_1,\ldots,x_n) &= p_1(x_1,\ldots,x_n),\\ 2e_2(x_1,\ldots,x_n) &= e_1(x_1,\ldots,x_n)p_1(x_1,\ldots,x_n)-p_2(x_1,\ldots,x_n),\\ 3e_3(x_1,\ldots,x_n) &= e_2(x_1,\ldots,x_n)p_1(x_1,\ldots,x_n) - e_1(x_1,\ldots,x_n)p_2(x_1,\ldots,x_n) + p_3(x_1,\ldots,x_n).\\ \end{align}$