Число Ризеля

В математике число Ри́зеля — нечётное натуральное число k, для которого целые числа вида k·2ⁿ − 1 составные для всех натуральных чисел n. Другими словами, когда k — число Ризеля, все элементы множества $\left\{\,k \cdot 2^n - 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}$ составные. В 1956 году Ханс Ризель (швед. Hans Riesel) доказал, что существует бесконечное число целых чисел k таких, что k·2ⁿ − 1 является составным для любого целого n. Он показал, что этим свойством обладает число 509 203, а также 509 203 плюс любое натуральное число, умноженное на 11 184 810^[1]. То, что какое-либо число является числом Ризеля, может быть показано нахождением покрывающего множества (англ.)русск. простых чисел, на которые будет делиться любой член последовательности. Известные числа Ризеля меньше одного миллиона имеют следующие покрывающие множества:

• 509 203·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 762 701·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 777 149·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 790 841·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 992 077·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Проблема Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля. Так как ни для одного числа k < 509 203 не найдено покрывающее множество, то предполагается, что 509 203 является наименьшим числом Ризеля. Однако, для 55 значений k < 509 203 последовательность содержит только составные числа для всех проверенных значений n. Наименьшие из них — 2293, 9221, 23 669, 31 859, 38 473, 40 597, 46 663, 67 117, 74 699 и 81 041.

В проекте добровольных распределённых вычислений PrimeGrid для кандидатов на числа Ризеля рассчитываются значения последовательностей k·2ⁿ − 1 для всех натуральных n, начиная с 1. Если в такой последовательности оказывается простое число, то этот кандидат исключается из рассмотрения. На 28 июня 2012 г. из кандидатов в числа Ризеля были исключены 9 чисел^[2].

Натуральное число может быть одновременно числом Ризеля и числом Серпинского, например 143 665 583 045 350 793 098 657^[3].

См. также

• Экспериментальная математика
• Открытые математические проблемы
• BOINC

Примечания

1. ↑ Hans Riesel, 1956
2. ↑ PrimeGrids
3. ↑ BriefNumbers

Литература

• Riesel, Hans Några stora primtal (швед.) // Elementa. — 1956. — Т. 39. — С. 258-260.
• PrimeGrid’s The Riesel Problem  (англ.). Архивировано из первоисточника 31 октября 2012. Проверено 17 сентября 2012.
• Problem 29.- Brier Numbers  (англ.). Архивировано из первоисточника 31 октября 2012. Проверено 17 сентября 2012.
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. — Берлин: Springer-Verlag, 2004. — 120 с. — ISBN 0-387-20860-7
• Ribenboim, Paulo The New Book of Prime Number Records. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94457-5