Интеграл Зиверта

Интеграл Зиверта (интегральный секанс) — специальная функция, возникающая в задачах о распространении излучения от протяжённого источника. Назван по имени шведского физика Рольфа Зиверта, который ввёл его в 1921 году.^[1] Она представляет собой неберущийся интеграл:

$F(\theta,x)=\int_0^\theta {e^{-x\cdot\sec\varphi}}\,d{\varphi}$

Полный интеграл Зиверта связан с интегралом функций Бесселя $\operatorname{Ki}$:

$F\left(\frac{\pi}{2},x\right)=\operatorname{Ki}_1(x)=\int_x^\infty K_0(t)\,dt$

где $K_0(x)$ — функция Макдональда.

Существует два обобщения интеграла Зиверта:^[2]

$F_a(\theta,x)=x^a\int_0^\theta {e^{-x\cdot\sec\varphi}}\cdot\sec^a{\varphi}\,d{\varphi}$

$F_a(\theta,x,y)=x^a\int_0^\theta {e^{-x\cdot\sec\varphi}}\cdot(\sec\varphi)^a\cdot(\operatorname{tg}\varphi)^{2y-1}\,d{\varphi}$

где $a\geqslant 0, x>0, 0<\theta\leqslant \frac{\pi}{2}$

Примечания

1. ↑ R. M. Sievert Die Intensitätsverteilung der primären γ-Strahlung in der Nähe medizinischer Radiumpräparate (нем.) // Acta Radiologica. — 1921. — Т. 1. — № 1. — С. 89-128.
2. ↑ L.A.-M. Hanna, S.L. Kalla On a generalized secant integral (англ.) // Radiation Physics and Chemistry. — 2000. — Т. 59. — С. 281-285.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Sievert Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.