Задача Лебега

Задача Лебега состоит в отыскании плоской фигуры наименьшей площади, которая способна накрыть собой любую плоскую фигуру диаметра 1.

Замечания

Любая фигура диаметра 1 может быть накрыта фигурой постоянной ширины 1. Для фигур постоянной ширины, диаметр совпадает с шириной. Поэтому задача Лебега сводится к нахождению плоской фигуры наименьшей площади, которая способна накрыть собой фигуру постоянной ширины 1.

Известно, что фигура Лебега существует, но она, возможно, не единственна. Если $L$ её площадь, то известно, что

$0{,}826<L<0{,}845.$

Нижняя оценка доказана в ^[1].

Для нахождения оценки сверху достаточно представить плоскую фигуру, способную накрыть любую плоскую фигуру диаметра 1. К таким фигурам относятся (в порядке уменьшения площади):

• Квадрат со стороной 1, его площадь равна 1;
• Правильный шестиугольник ширины 1, его площадь равна $\tfrac{\sqrt{3}}2\approx 0{,}866$;
• Самой маленькой известной на сегодня фигурой с этим свойством является правильный шестиугольник ширины 1, у которого определённым способом срезаны 3 угла. С двух углов срезаны равнобедренные треугольники, основания которых касаются окружности, вписанной в шестиугольник; третий угол срезается по двум окружностям радиуса 1, касающихся сторон на расстоянии, равном стороне такого равнобедренного треугольника.

Ссылки

1. ↑ Ogilvy, C. S. Excursions in Geometry. New York: Dover, pp. 142-144, 1990.

• Lebesgue Minimal Problem на Wolfram Mathworld.