Группа антисимметрии

В теории симметрии группой антисимметрии называется группа, состоящая из преобразований, которые могут менять не только геометрическое положение объекта, но также его некоторую двухзначную характеристику. Такой двухзначной характеристикой может быть, например, заряд (плюс-минус), цвет (чёрный-белый), знак вещественной функции, направление спина (вверх-вниз). Группы антисимметрии называются также группами магнитной симметрии, а также группами чёрно-белой симметрии. По аналогии с этими группами вводятся группы многоцветной симметрии (Беловские группы, так как они были предложены в работах академика Белова), в которых каждая точка объекта характеризуется уже не двухзначным, а многозначным параметром (цветом).

Содержание

Операции и элементы антисимметрии

В дополнение к обычным операциям симметрии (вращение, отражение, инверсия, трансляция и их комбинации) добавляются операции антисимметрии - вращение с изменением цвета (антиповорот), отражение с изменением цвета (антиотражение), инверсия с изменением цвета (антиинверсия), трансляция с изменением цвета (антитрансляция) и так далее. Соответственно, можно говорить и об элементах антисимметрии, которые включают в себя операции антисимметрии. Следует также учитывать операцию, которая не меняет положение объекта, но меняет цвет — операция антиотождествления или антитождества. Группы, в которых присутствует такая операция, называются серыми, так как там в каждой точке пространства совпадают белая и чёрная часть объекта. Такие группы получаются просто добавлением операции антитождества к классической группе симметрии и их число равно числу классических групп симметрии. Сами классические группы симметрии также являются частным случаем групп антисимметрии. Наибольший интерес представляют группы, которые не являются серыми, и в которых присутствуют как элемены симметрии, так и элементы антисимметрии (группы смешанной полярности). Элементы антисимметрии в этих группах могут быть только чётного порядка, так как элементы антисимметрии нечётного порядка содержат операцию антиотождествления. Например, ось антисимметрии 3 (порядок 3) невозможна в этих группах, а инверсионная ось 3 (порядок 6) — возможна. Последовательное выполнение двух операций антисимметрии или 2n-кратное выполнение оодной операции антисимметрии дважды меняет знак, то есть в результате знак не меняется. Таким образом, произведение двух операций антисимметрии приводит к классической операции симметрии. Поэтому групп, которые содержат только элементы и операции антисимметрии, не существует. Более того, число операций (но не элементов) антисимметрии в точечных группах антисимметрии равно числу операций симметрии в классических (одноцветных) группах.

Точечные группы антисимметрии

Хотя понятие антисимметрии применимо к любым точечным группам, обычно рассматривают кристаллографические точечные группы антисимметрии. Всего существует 58 чёрно-белых групп, 32 классических полярных групп, и 32 серых нейтральных групп. Итого, 122 точечных групп антисимметрии. Ниже дана таблица всех 122 кристаллографических точеных групп антисимметрии. Обычно для их обозначения используются символы Германа-Могена, при этом элементы антисимметрии отмечаются символом соответствующего элемента симметрии со штрихом. В таблице даны сокращённые символы. Полные символы можно увидеть, например, здесь.

Классические	Серые	Смешанной полярности
1	1'
1	1'	1'
2	21'	2'
m	m1'	m'
2/m	2/m1'	2/m'	2'/m	2'/m'
222	2221'	2'2'2
mm2	mm21'	m'm'2	mm'2'
mmm	mmm1'	m'm'm'	mmm'	m'm'm
4	41'	4'
4	41'	4'
4/m	4/m1'	4/m'	4'/m'	4'/m
422	4221'	4'22'	42'2'
4mm	4mm1'	4m'm'	4'mm'
42m	42m1'	42'm'	4'2m'	4'2'm
4/mmm	4/mmm1'	4/m'm'm'	4/m'mm	4'/mmm'	4'/m'm'm	4/mm'm'
3	31' = 3'
3	31'	3'
32	321'	32'
3m	3m1'	3m'
3m	3m1'	3m'	3'm'	3'm
6	61'	6'
6	61'	6'
6/m	6/m1'	6/m'	6'/m'	6'/m
622	6221'	62'2'	6'2'2
6mm	6mm1'	6m'm'	6'mm'
6m2	6m21'	6m'2'	6'm2'	6'm'2
6/mmm	6/mmm1'	6'/mmm'	6'/m'm'm	6/m'm'm'	6/m'mm	6/mm'm'
23	231'
m3	m31'	m'3'
432	4321'	4'32'
43m	43m1'	4'3m'
m3m	m3m1'	m'3m'	m'3'm	m3m'

Пространственные группы антисимметрии (Шубниковские группы)

Всего существует 1191 чёрно-белых групп, 230 классических полярных групп, и 230 серых нейтральных групп. Итого, 1651 Шубниковская группа.

Другие кристаллографические группы антисимметрии

Число различных кристаллографических групп антисимметрии (в скобках дано число классических групп симметрии).^[1][2]

периодичность	Размерность пространства
	0	1	2	3	4
0	2 (1)	5 (2)	31 (10)	122 (32)	1202 (271)
1		7 (2)	31 (7)	394 (75)
2			80 (17)	528 (80)
3				1651 (230)
4					62227 (4894)

Литература

• А. В. Шубников. Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд-во АН СССР, 1951.
• А. В. Шубников, В.А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве. Издание 2-е, переработанное и дополненное. М., 1972.
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992.
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000. (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
• В. А. Копцик, Шубниковские группы. М.: Изд-во МГУ, 1966.
• А. М. Заморзаев, Теория простой и кратной антисимметрии. Кишинев: Штиинца, 1976.
• Б. К. Вайнштейн, В. М. Фридкин, В. Л. Инденбом. Современная кристаллография. том 1. М.: Наука, 1979.

Ссылки

• Группы антисимметрии
• D. B. Litvin Tables of crystallographic properties of magnetic space groups, Acta Cryst. (2008). A64, 419-424

1. ↑ Б. К. Вайнштейн, В. М. Фридкин, В. Л. Инденбом. Современная кристаллография. том 1. М.: Наука, 1979, стр 176.
2. ↑ Bernd Souvignier, The four-dimensional magnetic point and space groups, Z. Kristallogr. 221 (2006) 77–82