Биортогонализация Ланцоша

Биортогонализация Ланцоша

Биортогонализация Ланцоша — процесс построения пары биортогональных базисов для двух подпространств Крылова

~ \mathcal{K}_m (v_1,A) = span \mathcal {f} v_1, Av_1, A^2 v_1, ..., A^{m-1} v_1 \mathcal {g}

и

~ \mathcal{K}_m (w_1,A^T) = span \mathcal {f} w_1, A^Tw_1, (A^T)^2 w_1, ..., (A^T)^{m-1} w_1 \mathcal {g} .

Метод был предложен венгерским физиком и математиком Корнелием Ланцошем и является расширением процедуры ортогонализации Ланцоша на случай, когда матрица ~A несимметрична.

Теоретическое обоснование метода

Определение. Системы векторов  \mathcal {f} x_i \mathcal {g} _ {i=1}^m и  \mathcal {f} y_i \mathcal {g} _ {i=1}^m называются биортогональными, если \forall i\ne j \; (x_i,y_j)=0.

Logo arte.jpg Теорема.
Пусть векторы ~v_1 и ~w_1 таковы, что (v_1,w_1)\ne 0 и пусть системы векторов  \mathcal {f} v_i \mathcal {g} _ {i=1}^m и  \mathcal {f} w_i \mathcal {g} _ {i=1}^m определяются соотношениями:
 ~ v_{i+1} = Av_i-\alpha_i v_i-\beta_i v_{i-1}, \  v_0 = 0;
 ~ w_{i+1} = A^T w_i-\alpha_i w_i-\beta_i w_{i-1}, \  w_0 = 0;
 ~ \alpha_i = \frac {(Av_i , w_i)}{(v_i,w_i)}
 ~ \beta_i = \frac {(v_i , w_i)}{(v_{i-1},w_{i-1})}, \beta_1 = 0

Тогда

  • Системы  \mathcal {f} v_i \mathcal {g} _ {i=1}^m и  \mathcal {f} w_i \mathcal {g} _ {i=1}^m являются биортогональными.
  • Каждая из систем  \mathcal {f} v_i \mathcal {g} _ {i=1}^m и  \mathcal {f} w_i \mathcal {g} _ {i=1}^m является линейно-независимой и образует базис в ~K_m(v_1,A) и ~K_m(w_1,A^T) соответственно.

Замечание. Основным недостатком биортогонализации Ланцоша является возможность возникновения ситуации, когда ~(v_i,w_i)=0; при этом продолжение процесса становится невозможным из-за неопределённости коэффициента ~\beta_{i+1}.

Алгоритм биортогонализации Ланцоша

  1. Выбираем два вектора ~v_1, \ w_1, так чтобы ~(v_1,w_1) = 1.
  2. Полагаем \beta_1=\delta_1 \equiv 0, \ w_0=v_0 \equiv 0
  3. Для ~j=1,2,...,m делать:
  4. ~ \alpha_j=(Av_j,w_j)
  5. ~\hat{v}_{j+1}=Av_j - \alpha_j v_j - \beta_j v_{j-1}
  6. ~\hat{w}_{j+1}=A^T w_j - \alpha_j w_j - \delta_j w_{j-1}
  7. ~\delta_{j+1}= \mathcal {j} (\hat{v}_{j+1},\hat{w}_{j+1}) \mathcal {j} ^{1/2}. Если ~\delta_{j+1}=0, то СТОП
  8. ~\beta_{j+1}=(\hat{v}_{j+1},\hat{w}_{j+1}) / \delta_{j+1}
  9. ~v_{j+1}=\hat{v}_{j+1} / \delta_{j+1}
  10. ~w_{j+1}=\hat{w}_{j+1} / \beta_{j+1}
  11. Конец цикла по ~j.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Биортогонализация Ланцоша" в других словарях:

  • Подпространство Крылова — В линейной алгебре, подпространством Крылова размерности порождённым вектором и матрицей называется линейное пространство Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»