Флаг (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Флаг (значения).

Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства $\,L$ (или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид

$L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \dots \subset L_k = L,$

где

$0 = \dim L_0 < \dim L_1 < \dim L_2 < \cdots < \dim L_k = \dim L.$

Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором $\dim L_i = i$, и следовательно, число $k= \dim L.$ Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже).

Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией).

Полный флаг

Полным флагом в векторном пространстве $\,L$ конечной размерности $\,n$ называется последовательность подпространств

$L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \dots \subset L_n, \quad \dim L_i = i,$

где подпространство $\,L_0$ состоит лишь из нулевого вектора, подпространство $\,L_n$ совпадает со всем $\,L$ $\,(L_n=L)$, и каждая пара соседних подпространств $\,(L_i,L_{i-1})$ является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство $\,L_{i-1}$ разбивает $\,L_{i}$, выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).

Базисы $\,e_1, e_2$ и $\,e_1, e'_2$ задают один и тот же флаг на плоскости

Каждый базис $e_1, \ldots, e_n$ векторного пространства $\,L$ определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим $L_i = \langle e_1, \ldots , e_i\rangle$ (здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары $\,(L_i,L_{i-1})$ выберем то полупространство, которое содержит вектор $\,e_i$.

Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы $\,e_1, e_2$ и $\,e_1, e'_2$ на плоскости определяют один и тот же полный флаг). Однако если векторное пространство $\,L$ является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами.

Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства $\,L$ существует единственное ортогональное преобразование $\,A: L \to L$, переводящее первый флаг во второй.

Флаги в аффинных пространствах и геометрии Лобачевского

Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности $\,n$:

$L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \dots \subset L_n, \quad \dim L_i = i,$

где подпространство $\,L_0$ состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского), называемой центром флага, подпространство $\,L_n$ совпадает со всем $\,L$ $\,(L_n=L)$, и каждая пара $\,(L_i,L_{i-1})$ является направленной.

Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной подвижностью пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.^[1]

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания

1. ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. XII, § 1. — М.: Физматлит, 2009.