- Уравнения Швингера
-
Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений для функций Грина в квантовой теории поля. Предложена Ю. Швингером в 1951. Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов с источником внешнего электромагнитного поля в минимальной форме — . За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):
где — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ обозначает хронологическое упорядочение операторов, — вариационная производная.
В итоге для двухточечной фермионной функции Грина
где — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:
где — матрицы Дирака, — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току ):
где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам определить и называются уравнениями Швингера.
Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения
Величина называется производящим функционалом.
Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:
где — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.
Литература
- Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М.: Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
- Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7
Категории:- Квантовая теория поля
- Физические законы и уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.