Тригамма-функция

Тригамма-функция действительного аргумента x

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается $\psi_{1}(z)$ и определяется как

$\psi_1(z) = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}z^2} \ln\Gamma(z) \; ,$

где $\Gamma(z)$ — гамма-функция. Из этого определения следует, что

$\psi_1(z) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}z} \psi(z) \; ,$

где $\psi(z)$ — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

$\psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2},$

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function),

$\psi_1(z) = \zeta(2,z)\; .\frac{}{}$

Эти формулы верны, когда $z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots$ (в указанных точках функция $\psi_{1}(z)$ имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Отметим другие обозначения для $\psi_{1}(z)$, используемые в литературе:

$\psi'(z), \;\;\; \psi^{(1)}(z)\; .$

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции ${\displaystyle F'(z)=\psi_{1}(z+1)}$.

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

$\psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,{\rm d}x\, {\rm d}y$

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

$\psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,{\rm d}x$

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

$\psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2} \; ,$

а также формуле дополнения

$\psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} \; .$

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

$\psi_1(kz) = \frac{1}{k^2} \sum_{n=0}^{k-1} \psi_1\left(z+\frac{n}{k}\right)\; .$

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли

$\psi_1(z+1) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}$.

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции:

$\psi_{1}\!\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G$

$\psi_{1}\!\left(\tfrac13\right) = \tfrac23 \pi^2 + 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)$

$\psi_1\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac12 \pi^2$

$\psi_{1}\!\left(\tfrac23\right) = \tfrac23 \pi^2 - 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)$

$\psi_{1}\!\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G.$

$\psi_1(1) \; = \tfrac16 \pi^2$

где G — постоянная Каталана, а $\mathrm{Cl}_2(\theta)$ — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через

$\mathrm{Cl}_2(\theta) = \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Li}_2\!\left(e^{\mathrm{i}\theta}\right) \right]\; .$

Для значений за пределами интервала $0<z\leq 1$ можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше.

См. также

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Trigamma function — статья в английской Википедии

Ссылки

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4
• Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com