Твистор

Твистор — точка в 4-мерном комплексном твисторном векторном пространстве, являющемся нелокальным комплексным твисторным отображением 4-мерного пространства-времени Минковского. Введение этого понятия вызвано необходимостью усложения математической модели для описания квантовомеханических событий в пространстве-времени. Так, для описания поглощения фотона недостаточно указать координаты точки поглощения в четырёхмерном пространстве, необходимо указать также его энергию и поляризацию. Для описания состояния электрона необходимо добавить к его координатам направление спина. Теория твисторов использует тот факт, что значение поляризации или спина в точке пространства-времени — это луч в двумерном комплексном пространстве, или точка на сфере Римана $CP^1$. Эта сфера Римана является математическим образом абсолютного небосвода наблюдателя в специальной теории относительности. Таким образом, основной идеей теории твисторов является объединение математического аппарата специальной теории относительности (4-х мерное пространство Минковского) и квантовой механики (комплексные числа).

Проективный твистор

Теория твисторов рассматривает в качестве фундаментальных объектов не точки пространства-времени, а лучи света. Рассмотрим световой луч Z в пространстве-времени Минковского и точку R, через которую он проходит. Световой луч в пространстве-времени Минковского при твисторном отображении отображается в точку Z проективного твисторного пространства PT, а точка R в пространстве-времени Минковского M при твисторном отображении отображается в сферу Римана R в проективном твисторном пространстве PT. Таким образом, точка Z в PT соответствует геометрическому месту Z (световому лучу) в пространстве М, а точка R в М соответствует геометрическому месту R (сфере Римана) в пространстве PT. Точки проективного твисторного пространства PT называются проективными твисторами.

Твисторное отображение

Точки пространства-времени представляются четырьмя вещественными числами, а координаты в проективном твисторном пространстве могут быть представлены отношениями четырёх комплексных чисел. Если световой луч с координатами $(Z_0,Z_1,Z_2,Z_3)$ в твисторном пространстве проходит через точку (t, x,y, z) в пространстве-времени, то справедливо твисторное отображение:

${Z_0 \choose Z_1} = \frac {i} {\sqrt[2]{2}} \begin{pmatrix} t + z & x + iy \\ x-iy & t - z \end{pmatrix}{Z_2 \choose Z_3}$

Классификация твисторов

Твистор Z с координатами $(Z_0, Z_1, Z_2, Z_3)$ называется положительным (соответственно отрицательным, изотропным), если величина $Z_0^2 + Z_1^2 - Z_2^2 - Z_3^2$ положительна (соответственно отрицательна, равна нулю). Множества положительных (соответственно отрицательных, изотропных) твисторов обозначаются через Т⁺ (соотв. Т^-, N), а их проективные аналоги — через PТ⁺ (соотв. PТ^-, PN).

Применения теории твисторов

Теория твисторов применяется при решении уравнений Максвелла, Янга — Миллса и Эйнштейна.

См. также

• Специальная теория относительности
• Квантовая механика
• Спинор
• Роджер Пенроуз

Литература

• Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие вселенной. Полный путеводитель. пер. с англ. А. Р. Логунова, Э. М. Эпштейна, М., Ижевск, 2007.
• Твисторы и калибровочные поля. Сборник статей под ред. В. В. Жаринова, М., Мир, 1983
• Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени: Пер. с англ. — М.: Мир. 1988.— 572 с, ил. ISBN 5-03-001049-1
• Манин Ю. И. Математика как метафора. М., МЦНМО, 2008, 400 с., ISBN 978-5-94057-287-9, тир. 2000 экз., гл. Физика и математика.
• Геометрические идеи в физике, сб. статей, пер. с англ. / под ред. Ю. И. Манина, М., Мир, 1983 — 240 c. с илл.
• Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М., Наука, 1984, 336 с.