- Произведение Кронекера
-
Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.
Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.
Содержание
Определение
Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq
В более общем случае имеем
Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 → W1 и V2 → W2, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Пример
- .
Билинейность, ассоциативность и некоммутативность
- Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным:
-
- где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.
- Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что
Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.
Транспонирование
Операция транспонирования является дистрибутивной относительно произведения Кронекера
Смешанное произведение
- Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
- A B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
Сумма и экспонента Кронекера
- Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера как
- Также справедливо
Спектр, след и определитель
- Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются
- След и определитель произведения Кронекера равны
Сингулярное разложение и ранг
- Если матрица A имеет rA ненулевых сингулярных значений:
Ненулевые сингулярные значения матрицы B:
Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений
- Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, значений
История
Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.
Категории:- Матрицы
- Бинарные операции
Wikimedia Foundation. 2010.