Вероятность перехода

Вероятностью перехода называется вероятность квантовой системы перейти из одного стационарного состояния в другое стационарное состояние под воздействием какого-либо возмущения.

В теории возмущений вероятность перехода даётся формулой:

$w_{fi}=\frac{1}{\hbar^2}\left|\int_{-\infty}^{+\infty}V_{fi}(t)e^{i\omega_{fi}t}dt\right|^2$

где $i$ и $f$ - начальное $|i\rangle$ и конечное $|f\rangle$ состояния системы,

$V_{fi}(t) \$ - матричный элемент оператора возмущения $\langle f |\hat V(t)| i\rangle \$,

$\omega_{fi} \$ - разность энергий двух стационарных состояний $(E_f-E_i)/\hbar \$.

Вышеуказанная формула справедлива в первом порядке теории возмущений, т.е. когда $V_{fi} \ll \hbar\omega_{fi} \$. Предполагается что возмущение $\hat V \$ затухает при $t \to\pm\infty \$. Для определения вероятности перехода на конечный момент времени $t \$ надо положить верхний предел интеграла равным $t \$, что эквивалентно выключению взаимодействия в этот момент времени.

Важным случаем является переход под воздействием периодического возмущения частоты $\omega \$: $V_{fi}(t)=\tilde V_{fi}e^{-i\omega t} \$. Считая включение потенциала экспоненциальным $V_{fi}(t)=\tilde V_{fi}e^{-i\omega t+\lambda t} \$ , находим:

$w_{fi}(t)=\frac{1}{\hbar^2}\left|\int_{-\infty}^{t}\tilde V_{fi}e^{i(\omega_{fi}-\omega) t+\lambda t}dt\right|^2=\frac{1}{\hbar^2}\left|\tilde V_{fi}\right|^2\frac{e^{2\lambda t}}{(\omega_{fi}-\omega)^2+\lambda^2}$

Откуда в адиабатическом пределе $\lambda\to0 \$ для вероятности перехода в единицу времени получаем:

$\frac{d}{dt}w_{fi}(t)=\frac{2\pi}{\hbar^2}\left|\tilde V_{fi}\right|^2\delta(\omega_{fi}-\omega)$

Данный результат тесно связан с золотым правилом Ферми, которое получается суммированием по конечным состояниям $f \$, (полагая также $\omega=0 \$).

Литература

• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985. — 384 с.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Пер. с англ., Том. 8. Том 9., М., 1966—1967.