- Характеристический многочлен матрицы
-
Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.
Содержание
Определение
Для данной матрицы , , где Е — единичная матрица, является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).
Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.
Связанные определения
- Матрицу называют характеристической матрицей матрицы А.
- Уравнение называют характеристическим уравнением матрицы A.
Свойства
- Для матрицы , характеристический многочлен имеет степень .
- Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
- Теорема Гамильтона — Кэли: если — характеристический многочлен матрицы , то .
- Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: .
- Если A и B — две -матрицы, то . В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).
- В более общем виде, если A — -матрица, а B — -матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то
- .
Ссылки
- В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра. — Ивановский государственный энергетический университет.
Категории:- Линейная алгебра
- Функции от матриц
- Многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.