Уравнения Ефименко

Уравне́ния Ефиме́нко описывают поведение электрического и магнитного поля в терминах запаздывающих источников. Объединённые с уравнением непрерывности, уравнения Ефименко эквивалентны уравнениям Максвелла электромагнетизма. Названы в честь Олега Ефименко^[1].

Объяснение

Электрическое поле $\mathbf{E}$ и магнитное поле $\mathbf{B}$ задаются в терминах плотности заряда $\rho$ и плотности тока $\mathbf{J}$ как

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\left(\rho(\mathbf{r'},t_r)\frac{\mathbf{R}}{R^3}+\frac{\partial\rho(\mathbf{r'},t_r)}{\partial t}\frac{\mathbf{R}}{R^2c} - \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}{\partial t}\frac{1}{R\,c^2}\right)\operatorname{d}^3\mathbf{r'}}$

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int{\left(\mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)\times\frac{\mathbf{R}}{R^3}+\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}{\partial t}\times\frac{\mathbf{R}}{R^2c}\right)\operatorname{d}^3\mathbf{r'}}$

где $\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r'}$, и $t_r = t - \frac{R}{c}$ (запоздалое время).

Примечания

1. ↑ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall (New Jersey), 3rd edition (1999), pp. 427-429. Гриффитс пишет, что, по всей видимости, Ефименко был первым, кто в 1966 году выписал эти уравнения в явном виде, и, хотя они имеют ограниченное применение, так как гораздо проще вычислить запаздывающие потенциалы, чем поля, они придают завершённость классической электродинамике.